Algèbre Linéaire (用法语记录一些有意思的证明)

MAT350是非法语母语的国际生四月份前的预备课程之一（其实是法语课），由Tuan NGO DAC讲授，他的导师是02年的菲尔兹奖得主Laurent LAFFORGUE。个人主页：[http://tuan.ngodac.perso.math.cnrs.fr/]。

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• jeudi 2 février 2023

jeudi 2 février 2023

Exercice 3. Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in \mathcal{L}(E)\). Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par

\[u_n=\dim \text{Im} f^n-\dim \text{Im} f^{n+1}, \]

\[v_n=\dim \text{Ker} f^{n+1}-\dim \text{Ker} f^n, \]

sont des suites positives, décroissantes qui tendent vers \(0\).

注：根据 Jordan 标准型的知识这是显然的，见[https://www.cnblogs.com/chaliceseven/p/16853190.html#corollary-3-jordan-canonical-form]。另外也可以套用Frobenius的秩不等式。

Tuan NGO DAC讲了一种非常优雅的证法：

Preuve. D'abord, c'est évident que \(u_n=v_n\) et donc il suffit de traiter \(u_n\).

On considère \(g_n=f:\text{Im}(f^n)\to \text{Im}(f^{n+1})\). On a

\[\text{Im} g_n = \text{Im} f^{n+1},\quad \text{Ker} g_n = \text{Ker} f\cap \text{Im} f^n. \]

En notant que \(\dim \text{Ker} g_n + \underbrace{\dim \text{Im} g_n}_{=\dim \text{Im} f^{n+1}} = \dim \text{Im} f^n\), on obtient

\[u_n = \dim \text{Ker} g_n = \dim(\text{Ker} f\cap \text{Im} f^n). \]

Ainsi, \(u_{n+1}\le u_n\).

Il reste à montrer que \((u_n)\) tend vers \(0\). Supposons le contraire. Alors pour chaque \(n\), il existe \(x_n\in E\) t.q.

\[x_n\notin \text{Ker} f^n,\quad x_n\in \text{Ker} f^{n+1}. \]

On voit facilement que les \(x_n\) sont linéairement indépendants, cela contredit l'hypothèse que \(E\) est de dimension fini. \(\blacksquare\)

这种简洁有力的证明风格还体现在下题：

Exercice 4. Soit \(\mathbb{C}_n[X]\) l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans \(\mathbb{C}\) de dégre inférieur ou égal à \(n\). On considère l'application linéarie \(\varphi\) qui à \(P(X)\in \mathbb{C}_n[X]\) associe \(P(X+1)-P(X)\). Déterminer son noyau \(\text{Ker} \varphi\) et son image \(\text{Im} \varphi\).

Preuve. On montrera que \(\text{Im} \varphi = \mathbb{C}_{n-1}[X]\) en calculant des dimensions. En utilisant le théorème fondamental de l'algèbre, on peut voir que \(\text{Ker} \varphi = \mathbb{C}\hookrightarrow \mathbb{C}_n[X]\), alors \(\dim \text{Ker} \varphi=1\). D'autre part, c'est évident que \(\text{Im} \varphi \subset \mathbb{C}_{n-1}[X]\), alors \(\dim \text{Im} \varphi \le n\). Enfin, \(\dim \mathbb{C}_n[X]=n+1\) donne le dernier coup. \(\blacksquare\)

最后是两道对角化的计算，它们构成一对有趣的对比：

Exercice 6. Soient \(m\in \mathbb{R}\) et

\[A(m)=\begin{pmatrix}1&0&1\\ -1&2&1\\ 2-m&m-2&m\end{pmatrix}. \]

Alors \(A(m)\) est diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) ssi \(m\neq 1\).

Exercice 7. Soient \(a\in \mathbb{R}\) et

\[M(a)=\begin{pmatrix}2&0&1-a\\ -1&1&a-1\\ a-1&0&2a\end{pmatrix}. \]

Alors \(M(a)\) est diagonalisable ssi \(a=1\).

考虑矩阵空间 \(\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})\cong \mathbb{R}^9\), 我们注意到 \(\{A(m):m\in \mathbb{R}\}\) 和 \(\{M(a):a\in \mathbb{R}\}\) 分别是此空间中的一条不过原点的直线。这给我们打开了一道门：想象 \(\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})\) 中可对角化矩阵的分布。

待续...