拟一致收敛, Ascoli-Arzelà 引理

这是2020年4月30日的数学分析作业.

拟一致收敛

Definition. 设 \([a,b]\) 上的函数列 \(\{f_n(x)\}\) 点态收敛到 \(f(x)\). 若对任意 \(\varepsilon>0\) 及 \(N\ge 1\), 存在

\[\begin{align*} (a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots,(a_k,b_k)\\ n_1,n_2,\cdots,n_k\ge N \end{align*} \]

使得 \(\bigcup_{j=1}^{k}(a_j,b_j)\supset [a,b]\), 且

\[|f_{n_j}(x)-f(x)|\le \varepsilon,\quad\forall x\in (a_j,b_j)\cap [a,b]; j=1,2,\cdots,k \]

则称 \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上拟一致收敛到 \(f(x)\).

Theorem. 设 \(f_n\in C[a,b]\), 则 \(f(x):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上存在且连续 \(\iff\) \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上拟一致收敛.

Proof. 充分性. 只需证明如下命题: 若 \(f_n(a^+)\ (n=1,2,\cdots)\) 存在且 \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上拟一致收敛于 \(f(x)\), 则存在 \(\{n\}\) 的子列 \(\{n_k\}\) 使得 \(\lim\limits_{k\to\infty}f_{n_k}(a^+)\) 与 \(f(a^+)\) 都存在, 且 \(f(a^+)=\lim\limits_{k\to\infty}f_{n_k}(a^+)\).

(注意这样就可由 \(f_{n_k}\) 在 \(a\) 处右连续推出 \(f\) 在 \(a\) 处右连续, \([a,b]\) 中其他点处的右连续性同理; 同理可证左连续的情形, 从而由 \(f_n\) 在 \([a,b]\) 上连续推出 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续.)

设 \(c_k=f_{n_k}(a^+)\ (k=1,2,\cdots)\).

由拟一致收敛性, 存在 \(\{n\}\) 的子列 \(\{n_k\}\) 以及开区间的族 \(\{(a_k,b_k)\}_{k=1}^{\infty}\), 其中每个开区间包含点 \(a\), 并且 \(\forall \varepsilon>0,\exists K,\forall k>K,\forall x\in(a_k,b_k)\cap[a,b],|f_{n_k}(x)-f(x)|<\varepsilon\).

从而 \(\forall i,j>K,\forall 0<\delta<\min\{b_i,b_j\}-a\),

\[\begin{align*} |c_i-c_j| &=|f_{n_i}(a^+)-f_{n_j}(a^+)|\\ &\le|f_{n_i}(a^+)-f_{n_i}(a+\delta)|+|f_{n_i}(a+\delta)-f(a+\delta)|+|f(a+\delta)-f_{n_j}(a+\delta)|+|f_{n_j}(a+\delta)-f_{n_j}(a^+)|\\ &<2\varepsilon+|f_{n_i}(a^+)-f_{n_j}(a+\delta)|+|f_{n_i}(a+\delta)-f_{n_j}(a^+)| \end{align*} \]

令 \(\delta\to 0^+\) 得 \(|c_i-c_j|\le 2\varepsilon\).

由 Cauchy 收敛准则存在极限 \(c:=\lim\limits_{k\to\infty}c_k=\lim\limits_{k\to\infty}f_{n_k}(a^+)\).

下证 \(f(a^+)=\lim\limits_{k\to\infty}f_{n_k}(a^+)\).

由于 \(\forall \varepsilon>0,\exists K,\forall k>K,\forall 0<\delta<b_k-a,|f(a+\delta)-f_{n_k}(a+\delta)|<\varepsilon\), 有

\[\begin{align*} |f(a+\delta)-c|&\le|f(a+\delta)-f_{n_k}(a+\delta)|+|f_{n_k}(a+\delta)-f_{n_k}(a^+)|+|f_{n_k}(a^+)-c|\\ &<\varepsilon+|f_{n_k}(a+\delta)-f_{n_k}(a^+)|+|f_{n_k}(a^+)-c| \end{align*} \]

先令 \(\delta\to 0^+\) 得

\[\varlimsup\limits_{\delta\to 0^+}|f(a+\delta)-c|\le\varepsilon+|f_{n_k}(a^+)-c| \]

再令 \(k\to\infty\) 得

\[\varlimsup\limits_{\delta\to 0^+}|f(a+\delta)-c|\le\varepsilon \]

由 \(\varepsilon>0\) 的任意性得 \(f(a^+)=\lim\limits_{\delta\to 0^+}f(a+\delta)=c=\lim\limits_{k\to\infty}f_{n_k}(a^+)\).

必要性. 任取 \(x_0\in [a,b]\), 由 \(\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_0)=f(x_0)\) 知, \(\forall\varepsilon>0,\forall N>0,\exists n_0>N\), s.t. \(|f_{n_0}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon/2\). 由 \(f_{n_0}(x)\) 与 \(f(x)\) 的连续性知存在 \(x_0\) 的开邻域 \(U(x_0,\delta_0)\) s.t. \(\forall x\in U(x_0,\delta_0)\), \(|f_{n_0}(x)-f(x)|<\varepsilon\). 这样的开邻域的族形成 \([a,b]\) 的开覆盖, 由 Heine-Borel 定理, 存在 \(U(x_1,\delta_1),\cdots,U(x_k,\delta_k)\) 使得 \(\bigcup_{i=1}^{k}U(x_i,\delta_i)\supset[a,b]\). \(\blacksquare\)

Ascoli-Arzelà 引理

Theorem. 有界闭区间 \([a,b]\) 上一致有界且等度连续的函数列 \(\{f_n(x)\}\) 存在一致收敛的子列 \(\{f_{n_k}(x)\}\) .

Proof. 由于点态收敛且等度连续推出一致收敛, 只要证明 \(\{f_n(x)\}\) 有收敛的子列.

\([0,1]\) 中的有理数可以排成一个序列 \(\{q_k\}_{k=1}^{\infty}\).

\(\{f_n(q_1)\}\) 是有界数列, 从而有收敛子列 \(\{f_{1,k}(q_1)\}\),

\(\{f_{1,k}(q_2)\}\) 是有界数列, 从而有收敛子列 \(\{f_{2,k}(q_2)\}\), \(\cdots\)

从而归纳定义出一个函数列的序列 \(\{\{f_{j,k}(x)\}_{k=1}^{\infty}\}_{j=1}^{\infty}\), 满足

• \(\{f_{j,k}(x)\}\supset\{f_{j+1,k}(x)\}\), \(\forall j\ge 1\).

• \(\{f_{j,k}(q_j)\}\) 收敛, \(\forall j\ge 1\).

取 \(\{f_n(x)\}\) 的子列 \(\{f_{j,j}(x)\}_{j=1}^{\infty}\), 则对任意 \(i\ge 1\) 有 \(\{f_{j,j}(q_i)\}_{j=1}^{\infty}\) 收敛, 即函数列 \(\{f_{j,j}(x)\}\) 在 \([0,1]\) 中的所有有理点上收敛.

下证 \(\{f_{j,j}(x)\}\) 在整个 \([0,1]\) 上收敛.

由 \(\{f_{n}(x)\}\) 在 \([0,1]\) 上等度连续,

\[\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\mathrm{s.t.}\ \forall x,y\in [0,1](|x-y|<\delta),\forall n\ge 1,|f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon \]

对任意 \(t\in [0,1]\), 存在有理数 \(q_s\in [0,1]\) 使得 \(|t-q_s|<\delta\). 从而

\[\begin{align*} |f_{j,j}(t)-f_{i,i}(t)| &\le|f_{j,j}(t)-f_{j,j}(q_s)|+|f_{j,j}(q_s)-f_{i,i}(q_s)|+|f_{i,i}(q_s)-f_{i,i}(t)|\\ &<2\varepsilon+|f_{j,j}(q_s)-f_{i,i}(q_s)| \end{align*} \]

由 \(\{f_{j,j}(q_s)\}\) 收敛, 存在 \(N\), 当 \(i,j>N\) 时有 \(|f_{j,j}(q_s)-f_{i,i}(q_s)|<\varepsilon\), 进而 \(|f_{j,j}(t)-f_{i,i}(t)|<3\varepsilon\).

因此 \(\{f_n(x)\}\) 的子列 \(\{f_{j,j}(x)\}_{j=1}^{\infty}\) 在 \([0,1]\) 上收敛. \(\blacksquare\)