商映射在饱和子空间上的限制不是商映射的例子

商映射在饱和子空间上的限制未必是商映射. 反例如下:

取 \(\mathbb{R}\) 的子空间

\[X=(0,\tfrac{1}{2}]\cup\{1+\tfrac{1}{2},1+\tfrac{1}{3},\cdots\}\cup\{1\}. \]

在 \(X\) 上定义等价关系 \(\sim\) 如下:

\[x\sim y:\iff |x-y|\in\{0,1\}. \]

令 \(Y\) 为上述等价关系所诱导的商空间 \(X/\sim\), 对应的商映射 \(p:X\to Y\) 把 \(X\) 中的元素映到其等价类.

取 \(X\) 的饱和子空间

\[A=\{1\}\cup (0,\tfrac{1}{2}]\setminus\{\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\cdots\}, \]

并令 \(p(A)\) 从 \(Y\) 继承子空间拓扑.

注意到 \(\{1+\tfrac{1}{2},1+\tfrac{1}{3},\cdots\}\cup\{1\}\) 是 \(X\) 中的开集, 它与 \(A\) 相交出 \(A\) 中的开集 \(\{1\}\). 考虑通过限制 \(p\) 的定义域与值域所得到的映射

\[\widetilde{p}:A\to p(A). \]

显然 \(\{1\}\) 关于 \(\widetilde{p}\) 饱和, 但其像 \(\widetilde{p}(\{1\})=p(\{1\})=\{p(1)\}=\{\{1\}\}\) 不是 \(p(A)\) 中的开集 (从而 \(\widetilde{p}:A\to p(A)\) 不是商映射):

假设 \(\{\{1\}\}\) 是 \(Y\) 中的某个开集 \(V\) 和 \(p(A)\) 的交, 则 \(\{1\}\in V\) 导致 \(1\in p^{-1}(V)\). 又由 \(p\) 连续, \(p^{-1}(V)\) 是 \(1\) 在 \(X\) 中的一个开邻域, 即 \(1\) 在 \(\mathbb{R}\) 中的某个开邻域与 \(X\) 的交. 于是 \(p^{-1}(V)\) 中必有异于 \(1\) 的点 \(1+\tfrac{1}{n}\), 其中 \(n\ge 2\) 是某个正整数. 故 \(p(1+\tfrac{1}{n})=\{1+\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{n}\}=p(\tfrac{1}{n})\) 是 \(V\cap p(A)\) 中的一个异于 \(\{1\}\) 的元素, 这与 \(V\cap p(A)=\{\{1\}\}\) 矛盾.