线性回归原理总结
基本形式
线性回归（linear regression）通过学习获得一个线性模型以尽可能准确地预测实际标签值。对于具有m个样本的数据集，给定$n$个特征，其线性回归模型如下：
$h(x)=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+...+\theta_nx_n=\sum\limits_{i=0}^n\theta_ix_i$ 其中，$h(x)$表示用来预测的假设函数，通过此函数输出一组连续型标签值；$x_i(i=1,2,...,n)$表示每个样本在第$i$个特征上的取值；$θ_i(i=1,2,...,n)$为模型参数，$θ_0$表示截距，$θ_1$~$θ_n$称为系数。
一般向量形式为
$h(x)=[\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n]*\left[ \begin{array}{cc}x_0\\x_1\\x_2\\...\\x_n \end{array} \right]=\theta^Tx$ $(x_0=1)$,其中$\theta$和$x$均为(n+1)x1向量
损失函数
损失函数用来衡量模型参数$θ$的优劣，即评估真实值与预测值的误差，是求解最优参数的工具。损失函数最小时，模型在训练集上的表现最好，对应的模型参数最优。
在线性回归中，一般采用均方误差($\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m(h(x)^{(i)}-y^{(i)})^2$)作为性能度量。损失函数形式如下：
$J(θ)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{j=1}^m(h(x)^{(j)}-y^{(j)})^2$ 代数式2-1，其中，$m$是样本数，$j=1,2,...,m$，$h(x)^{(j)}$和$y^{(j)}$分别表示第$j$个样本对应的预测值和实际标签值
将所有样本的特征和标签分别以矩阵形式表示： $X=\left[ \begin{array}{cc}1&x_1^{(1)}&x_2^{(1)}&...&x_n^{(1)}\\1&x_1^{(2)}&x_2^{(2)}&...&x_n^{(2)}\\.&.&.&...&.\\1&x_1^{(m)}&x_2^{(m)}&...&x_n^{(m)} \end{array} \right]$ ,$Y=\left[ \begin{array}{cc}y^{(1)}\\y^{(2)}\\...\\y^{(m)} \end{array} \right]$，则损失函数$J(θ)$为：$J(θ)=\frac{1}{2m} (X\theta-Y)^T(X\theta-Y)$ 矩阵形式2-2
注：线性回归的损失函数是凸函数。关于损失函数的具体形式，不同书籍、网页资料、教程会有所不同，区别在于是否添加系数$\frac{1}{2}$或者$\frac{1}{2m}$或者$\frac{1}{m}$，这里不必纠结，看个人爱好，因为系数只是影响了极值的大小，与损失函数取极值时的模型参数没有关系。而我们关心的是损失函数取极值时对应的模型参数。
损失函数的优化
1.最小二乘法（用途广泛，不仅限于线性回归）
基于均方误差最小化来进行模型参数求解的方法称为"最小二乘法"（least square method），就是试图找到一条直线（或一个超平面），使所有样本到直线（或超平面）上的欧式距离之和最小（注：均方误差等于最小二乘法除以样本数m）。
代数法求解
那么，最小二乘法如何才能使$J(\theta)$最小呢？也就是说，一组$\theta_i(i=0,1,2,...,n)$分别取哪些值时对应的$J(\theta)$值最小？学过微积分的同学应该很容易想到答案—对$\theta_i(i=0,1,2,...,n)$分别取偏导，并令偏导数为0，得到一个含$n+1$个方程的$n+1$元一次方程组，求解便可得到$\theta_i(i=0,1,2,...,n)$的值，如下：
首先把损失函数$J(θ)$代数式化简$J(θ)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{j=1}^m(h(x)^{(j)}-y^{(j)})^2=\frac{1}{2m}\sum\limits_{j=1}^m(\sum\limits_{i=0}^n\theta_ix_i^{(j)}-y^{(j)})^2$ 2-3
对$\theta_i$求导，并令导数为0，可得$\frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^m(\sum\limits_{i=0}^n\theta_ix_i^{(j)}-y^{(j)})x_i^{(j)}=0$ 2-4
矩阵法求解
目前，机器学习中用到最小二乘法时，绝大多数都是利用矩阵进行求解。下面讲解比较简洁的矩阵法来求解最小二乘法，如下：
首先把损失函数$J(θ)$化简 $J(θ)=\frac{1}{2m}(X\theta-Y)^T(X\theta-Y)$
$=\frac{1}{2m}((X\theta)^T-Y^T)(X\theta-Y)$
$=\frac{1}{2m}((X\theta)^TX\theta-(X\theta)^TY-Y^T(X\theta)+Y^TY)$
$=\frac{1}{2m}(\theta^TX^TX\theta-2(X\theta)^TY+Y^TY)$
对$\theta$求导: $\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta}=\frac{1}{m}(X^TX\theta-X^TY)$ 公式2-5
当$X^TX$为满秩矩阵时，令公式2-5等于0可得$\theta=(X^TX)^{-1}X^TY$
涉及到的矩阵运算公式
$(A\pm B)^T=A^T\pm B^T$
$(AB)^T=B^TA^T$
对于任意两个列向量$A$和$B$，$A^TB=B^TA$
若矩阵$A$可逆，$A^{-1}A=I$或$AA^{-1}=I$，其中$I$为单位矩阵
最小二乘法的应用条件和局限性
- $X^TX$必须可逆。对于特征数目$n+1$大于样本数$m$的情况，会导致$X$的列数多于行数，$X^TX$不是满秩，故不能用最小二乘法。
- 建议样本特征<10000时，使用最小二乘法。因为当特征n非常大时，计算$X^TX$的逆矩阵比较耗时。
- 拟合函数必须是线性的。
2.梯度下降法
注：由于线性回归的损失函数是凸函数，梯度下降得到的解一定是全局最优解。
$\theta_i=\theta_i-\alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_i}=\theta_i-\alpha\frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^m(\sum\limits_{i=0}^n\theta_ix_i^{(j)}-y^{(j)})x_i^{(j)}$ 代数迭代公式2-6
$\theta=\theta-\alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta}=\theta-\alpha\frac{1}{m}X^T(X\theta-Y)$ 矩阵迭代公式2-7，
涉及到的矩阵运算公式
$\frac{\partial (X^TX)}{\partial X}=2X$
$\frac{\partial (A^TX)}{\partial X}=\frac{\partial (X^TA)}{\partial X}=A$，其中$A$为常数矩阵
正则化
为了防止模型过拟合，通常需要引入正则项，实现方式是原损失函数$J(\theta)$+正则项生成一个正则化后的损失函数$J(\theta)_L$。
常见的正则化方式有两种：L1和L2。其中L1正则项是指参数向量中每个参数的绝对值之和，L2为参数向量中每个参数的平方和。L1正则化可以使得参数稀疏化，即得到一个稀疏矩阵（很多参数压缩为0），也可以用于特征选择。L2正则化只会让参数尽量小，不会取到0。在线性回归模型中，L1正则化叫做Lasso回归，L2正则化的叫做Ridge回归（岭回归）。
$J(\theta)_{L1}=J(\theta)+C||\theta||_1$ L1正则化3-1 其中$C$为常数系数，$||\theta||_1$为L1范式
$J(\theta)_{L2}=J(\theta)+C||\theta||_2^{2}$ L2正则化3-2 其中$C$为常数系数，$||\theta||_2^2$为L2范式
参考资料
1.周志华《机器学习》
