剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题（70. 爬楼梯）

题目：

 

 

思路：

【1】动态规划，利用F(N)=F(N-1)+F(N-2)的公式。

【2】矩阵快速幂（重点难以理解）

【3】通项公式：根据递推方程 f(n)=f(n−1)+f(n−2)，我们可以写出这样的特征方程：x^2 = x + 1。 【但这种只限于爬楼梯，因为如果要除某个数的话直接拿结果除是不合适的】（需要重点理解）

         

代码展示：

通项公式：

//时间0 ms击败100%
//内存38.1 MB击败86%
//这种是最优的因为通过数学拿到公式后可以减少很多步骤
class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        double sqrt5 = Math.sqrt(5);
        double fibn = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
        return (int) Math.round(fibn / sqrt5);
    }
}

 

矩阵快速幂的方式：

//时间0 ms击败100%
//内存38.5 MB击败28.24%
class Solution {
    static final int MOD = 1000000007;

    public int numWays(int n) {
        int[][] a = {{1, 1}, {1, 0}};
        int[][] res = pow(a, n);
        return res[0][0];
    }

    public int[][] pow(int[][] a, int n) {
        int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};

        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                ret = mul(ret, a);
            }
            n >>= 1;
            a = mul(a, a);
        }
        return ret;
    }

    public int[][] mul(int[][] a, int[][] b) {
        int[][] c = new int[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; ++i) {
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                c[i][j] = (int) (((long)a[i][0] * b[0][j] + (long)a[i][1] * b[1][j]) % MOD);
            }
        }
        return c;
    }
}

//时间0 ms击败100%
//内存38.4 MB击败34.11%
//时间复杂度：同快速幂，O(log⁡n)。
//空间复杂度：O(1)。
class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
        int[][] res = pow(q, n);
        return res[0][0];
    }

    public int[][] pow(int[][] a, int n) {
        int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                ret = multiply(ret, a);
            }
            n >>= 1;
            a = multiply(a, a);
        }
        return ret;
    }

    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
        int[][] c = new int[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
            }
        }
        return c;
    }
}

 

简单的动态规划，利用F(N)=F(N-1)+F(N-2)的公式：

//时间0 ms击败100%
//内存38.2 MB击败63.73%
//时间复杂度：循环执行 n 次，故时间复杂度为 O(n)。
//空间复杂度：这里只用了常数个变量作为辅助空间，故空间复杂度为 O(1)。
class Solution {
    public int numWays(int n) {
        int a1 = 1 , a2 = 2;
        if (n == 1 || n == 0) return a1;
        if (n == 2) return a2;
        int res = 1;
        for (int i = 3;i <= n; i++){
            res = (a1 + a2)%1000000007;
            a1 = a2;
            a2 = res;
        }
        return res;
    }
}

//时间0 ms击败100%
//内存38 MB击败92.49%
class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int a1 = 1 , a2 = 2;
        if (n == 1 || n == 0) return a1;
        if (n == 2) return a2;
        int res = 1;
        for (int i = 3;i <= n; i++){
            res = (a1 + a2);
            a1 = a2;
            a2 = res;
        }
        return res;
    }
}