FFT理解

近日理解了一下多项式快速乘法，浅谈一下自己的感受；

用处:在进行多项式乘法时，将O(n²)的复杂度优化到O(nlog₂n)的复杂度，而这在一些例如高精度乘法，生成函数的题目中不可或缺；

具体实现：

由于多项式在系数表示进行乘法的时候，复杂度为O(n²)，在点值表示进行乘法的时候，复杂度为O(n)；

很自然的，我们想到，先设法将系数表示转化为点值表示，在进行完乘法后，再转移回系数表示，而实际算法也是这么做的；

a:[系数数组]->[点值数组]->

b:[系数数组]->[点值数组]->乘法->c:[点值数组]->[系数数组]

所以我们现在要解决的问题是:

1.系数->点值

选n个xi，求A(x[i])，由于有秦九韶算法，单次O(n)，n次O(n²)，boom了；

考虑对x[i]进行限制，普通的无规律的求A(x[i])自然是要O(n²)，但问题是x[i]目前不固定，我们可以自己决定；

这需要挖掘多项式的一些性质：（比如下面这个）

A(xi)=次数为偶数的系数数组AL(xi²)+xi*次数为偶数的系数数组AR(x[i]²)

A(-xi)=次数为偶数的系数数组AL(xi²)-xi*次数为偶数的系数数组AR(x[i]²)

 

从这个式子，我们可以清晰地看出，算出AL(xi²)，和AR(xi²)可以得到两个点值，这样就可以不断递归，O(nlogn)；

2.点值->系数

经过数学变换（自己推），可以发现点值与系数的关系式与带入多项式求值的关系式非常相似；

可以把点值看成多项式的系数，再次FFT，最后即可得到答案；