矩阵乘法
p1353:
一个由自然数组成的数列按下式定义：
对于i <= k：ai = bi
对于i > k: ai = c[1]*a[i-1] + c[2]*a[i-2] + ... + c[k]*a[i-k]
其中bj 和 cj （1<=j<=k）是给定的自然数。写一个程序，给定自然数m <= n,
计算a[m] + a[m+1] + a[m+2] + ... + a[n], 并输出它除以给定自然数p的余数的值
矩阵乘法应用入门题，设矩阵A={a1,a2,a3...an-1,an,Sn}，然后再构造一个B矩阵，使A*B=A’，A’={a2,a3,a4...an,an+1,Sn+1};用快速幂优化，求Sn,Sm-1，答案就出来了；
下面代码，因为是入门，所以也就没写什么struct Matrix;
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<string> 5 #include<cstdlib> 6 #include<ctime> 7 #include<vector> 8 #include<algorithm> 9 #include<queue> 10 using namespace std; 11 #define LL long long 12 const int maxn=20; 13 LL k,mod,m,n; 14 int a[maxn],b[maxn][maxn]; 15 int y[maxn][maxn],c[maxn]; 16 LL find(LL q){ 17 if(q<=0)return 0; 18 memcpy(y,b,sizeof(y)); 19 int ans[maxn][maxn],t[maxn][maxn]; 20 memset(ans,0,sizeof(ans)); 21 memset(t,0,sizeof(t)); 22 for(int i=1;i<=k;i++)ans[i][i]=1; 23 while(q!=0){ 24 if(q%2==1){ 25 memset(t,0,sizeof(t)); 26 for(int i=1;i<=k;i++) 27 for(int j=1;j<=k;j++) 28 for(int l=1;l<=k;l++) 29 t[i][j]=((LL)t[i][j]+((LL)ans[i][l]*y[l][j])%mod)%mod; 30 memcpy(ans,t,sizeof(t)); 31 } 32 q/=2; 33 memset(t,0,sizeof(t)); 34 for(int i=1;i<=k;i++) 35 for(int j=1;j<=k;j++) 36 for(int l=1;l<=k;l++) 37 t[i][j]=(t[i][j]+((LL)y[i][l]*y[l][j])%mod)%mod; 38 memcpy(y,t,sizeof(t)); 39 } 40 LL sum=0; 41 for(int i=1;i<=k;i++)sum=(sum+(LL)a[i]*ans[k][i]%mod)%mod; 42 return sum; 43 } 44 int main(){ 45 cin>>k; 46 for(int i=1;i<=k;i++)cin>>a[i]; 47 for(int i=1;i<k;i++)b[i][i+1]=1; 48 for(int i=1;i<=k;i++)cin>>b[k][k-i+1]; 49 b[k+1][1]=1; 50 b[k+1][k+1]=1; 51 k++; 52 cin>>m>>n>>mod; 53 printf("%d\n",(find(n)-find(m-1)+mod)%mod); 54 return 0; 55 }
p1354:
HH有个一成不变的习惯，喜欢饭后百步走。所谓百步走，就是散步，就是在一定的时间
内，走过一定的距离。
但是同时HH又是个喜欢变化的人，所以他不会立刻沿着刚刚走来的路走回。
又因为HH是个喜欢变化的人，所以他每天走过的路径都不完全一样，他想知道他究竟有多
少种散步的方法。
现在给你学校的地图（假设每条路的长度都是一样的都是1），问长度为t，从给定地
点A走到给定地点B共有多少条符合条件的路径;
这道题的原型是二维动归入门，然后这道题经历了以下变迁： 二维dp入门->二维dp（图论形式）->二维dp(矩阵乘法优化)->二维dp(矩阵乘法优化)+点边转化；
二维dp入门：f[t][i][j]=f[t-1][i-1][j]+f[t-1][i][j-1]+f[t-1][i+1][j]+f[t-1][i][j-1];很水；
二维dp（图论形式）:建成图，然后f[t][i]=sum(f[t-1][j]+d[j][i]);
二维dp(矩阵乘法优化)：t很大的时候，上矩阵乘法，建一个邻接矩阵，利用矩阵乘法转移；
这道题:由于不能走上一步走的路，点边转化一下，拆成两条有向边，其他和上面一样；
写得很难受，从来没在图上搞这么难受的设计，尤其是在不知道有没有效果的情况下；
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<string> 5 #include<cstdlib> 6 #include<ctime> 7 #include<vector> 8 #include<algorithm> 9 #include<queue> 10 using namespace std; 11 #define LL long long 12 const int maxn=125; 13 const int mod=45989; 14 struct node{ 15 int x,y,next; 16 }e[maxn]; 17 int linkk[maxn],len=-1; 18 int n,m,t,A,B; 19 struct Matrix{ 20 int v[maxn][maxn]; 21 Matrix(){memset(v,0,sizeof(v));} 22 friend Matrix operator*(const Matrix& a,const Matrix& b){ 23 Matrix c; 24 for(int i=0;i<=len;i++) 25 for(int j=0;j<=len;j++) 26 for(int k=0;k<=len;k++) 27 c.v[i][j]=(c.v[i][j]+a.v[i][k]*b.v[k][j]%mod)%mod; 28 return c; 29 } 30 friend Matrix operator^(Matrix a,int b){ 31 Matrix c; 32 for(int i=0;i<=len;i++)c.v[i][i]=1; 33 while(b){ 34 if(b%2)c=c*a; 35 b/=2; 36 a=a*a; 37 } 38 return c; 39 } 40 }a,b; 41 void insert(int x,int y){ 42 e[++len].y=y;e[len].next=linkk[x];linkk[x]=len;e[len].x=x; 43 } 44 void init(){ 45 memset(linkk,-1,sizeof(linkk)); 46 cin>>n>>m>>t>>A>>B; 47 int x,y;A++,B++; 48 for(int i=1;i<=m;i++){ 49 cin>>x>>y; 50 x++,y++; 51 insert(x,y);insert(y,x); 52 } 53 for(int i=linkk[A];i!=-1;i=e[i].next)a.v[1][i]++; 54 for(int i=0;i<=len;i++) 55 for(int j=0;j<=len;j++) 56 if(e[i].y==e[j].x)if(i!=(j^1))b.v[i][j]++; 57 a=a*(b^(t-1)); 58 LL sum=0; 59 for(int i=linkk[B];i!=-1;i=e[i].next)sum=(sum+a.v[1][i^1])%mod; 60 cout<<sum%mod<<endl; 61 } 62 int main(){ 63 init(); 64 }
p1355:
FJ的N(2 <= N <= 1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点，自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。
农场上的跑道有一些交汇点，每条跑道都连结了两个不同的交汇点I1_i和I2_i(1 <= I1_i <= 1,000; 1 <= I2_i <= 1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1 <= length_i <= 1,000)，以及每条跑道连结的交汇点的编号。并且，没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直
接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。
为了完成一场接力跑，所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上（有些交汇点上可能站着不只1头奶牛）。当然，她们的站位要保证她们能够将接力棒顺次传递，并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。
你的任务是，写一个程序，计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下，奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然，这条路径必须恰好经过N条跑道.
这道题和上道题的转移方程差不多：f[t][i]=min(f[t-1][j]+d[j][i]);
但不同的是上一题是sum，这一题是min。
和上题一样，建立矩阵，但矩阵的乘法规则换成c[i][j]=min(a[i][k]+b[k][j]);
然后就可以转移了，初始矩阵^n表示走n步后的最短长度；
在看题解之前还真不知道矩阵乘法的规则可以这么改变；
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<cstdlib> #include<ctime> #include<vector> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; #define LL long long const int maxn=1010; const int inf=1000000000; struct node1{ int x,y,v,next; }e[maxn]; int linkk[maxn],len=0,n,N,m,S,E,top=0; struct node{int x,y,v;}b[maxn]; bool flag[maxn]; int q[maxn],f[maxn]; void insert(int x,int y,int v){ e[++len].y=y;e[len].x=x; e[len].next=linkk[x]; linkk[x]=len; e[len].v=v; } void init(){ scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&E); int x,y,v; for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d%d",&v,&x,&y);b[i].x=x,b[i].y=y,b[i].v=v; if(!flag[x])q[++top]=x,flag[x]=1; if(!flag[y])q[++top]=y,flag[y]=1; } sort(q+1,q+top+1); for(int i=1;i<=maxn;i++)f[q[i]]=i; for(int i=1;i<=m;i++){ insert(f[b[i].x],f[b[i].y],b[i].v); insert(f[b[i].y],f[b[i].x],b[i].v); } } struct Mat{ LL v[202][202]; Mat(){memset(v,0,sizeof(v));} Mat operator*(Mat& x){ Mat c; memset(c.v,10,sizeof(c.v)); for(int i=1;i<=top;i++) for(int j=1;j<=top;j++) for(int k=1;k<=top;k++) { c.v[i][j]=min(c.v[i][j],v[i][k]+x.v[k][j]); } return c; } Mat operator^(int b){ Mat c; bool flag1=1; while(b){ if(b%2) { if(flag1)c=*this,flag1=0; else c=c*(*this); } b/=2; *this=(*this)*(*this); } return c; } }a; void work(){ memset(a.v,10,sizeof(a.v)); for(int x=1;x<=top;x++){ for(int i=linkk[x];i;i=e[i].next){ a.v[x][e[i].y]=e[i].v; } } a=a^(n); cout<<a.v[f[S]][f[E]]<<endl; } int main(){ init(); work(); }
矩阵乘法有这么一段话：如果一个向量是其他向量的线性组合，便可以考虑用矩阵乘法；
这其实是在考验建模能力；
