数组刷题笔记1：二分法

数组理论

• 数组是存放在连续内存空间上的相同类型数据的集合

  • 数组下标都是从0开始的
  • 数组内存空间的地址是连续的
  • 在删除或者增添元素的时候，难免要移动其他元素的地址
  • 数组的元素是不能删的，只能覆盖。

• java中二维数组在内存空间的地址每行没有规则，C++中连续

二分法

• 前提：
  • 有序数组
  • 无重复元素
• 边界条件，定义目标在什么区间：
  • 左闭右闭
  • 左闭右开

704. 二分查找

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

1. 当target在数组外时，返回-1（边界条件）
2. 确定数组的左右端
3. 循环条件，当闭区间时执行
4. 用位运算定义二分点mid，进行判断，重新规划区间。
   1. 当等于时返回mid
   2. 当target > nums[mid]时，重新定义left = mid + 1;（减少重复判断，避免死循环）
   3. 当target < nums[mid]时，重新定义right = mid - 1;（减少重复判断，避免死循环）

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;//节约内存
        //target在范围外
        if (target > nums[n - 1] || target < nums[0]){
            return -1;
        }
        //左闭右闭
        int left = 0, right = n - 1;
        while (left <= right){
            int mid = left + ((right - left) >> 1);//等于(left + right) >> 1
            if (target == nums[mid]){
                return mid;
            }else if (target > nums[mid]){
                left = mid + 1;//mid已经判断了不等于，并破除死循环
            }else if (target < nums[mid]){
                right = mid - 1;//mid已经判断为不等于，并破除死循环
            }
        }
        return -1;
    }
}

35. 搜索插入位置

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。（无重复）

1. 暴力解法

• 时间复杂度O(n)
• 空间复杂度O(1)

2. 二分法

使用二分法查找值是否存在，如果不存在插入右边界（小于查找数的最大值）的后一位

• 时间复杂度O(log n)
• 空间复杂度O(1)

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length, left = 0, right = n - 1;
        //判断超出范围,可以不判断
        if (nums[0] > target){
            return 0;
        } else if (nums[n-1] < target){
            return n;
        }

        while (left <= right){
            int mid = (left + right) >> 1;
            if (nums[mid] < target){
                left = mid + 1;
            }else if (nums[mid] > target){
                right = mid - 1;
            }else{
                return mid;//等于其中一个数时
            }
        }
        //超出界限时（小于数组和大于数组），插入中间时
        return right + 1;
    }
}

*34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置（中等）

• 情况一：target 在数组范围的右边或者左边，例如数组{3, 4, 5}，target为2或者数组{3, 4, 5},target为6，此时应该返回
• 情况二：target 在数组范围中，且数组中不存在target，例如数组{3,6,7},target为5，此时应该返回
• 情况三：target 在数组范围中，且数组中存在target，例如数组{3,6,7},target为6，此时应该返回

方法1：分别写两个二分来寻找左边界和右边界

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        int leftBorder = getLeftBorder(nums, target);
        int rightBorder = getRightBorder(nums, target);
        //1. 在数组范围外，为空数组
        if (leftBorder == -2 || rightBorder == -2) return new int[]{-1, -1};
        //3. 存在时
        if ((rightBorder - leftBorder) > 1) return new int[]{leftBorder + 1, rightBorder - 1};
        //否则，结果2
        return new int[]{-1,-1};
    }

    //分别查找左右边界
    //查找右边界
    int getRightBorder(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        int rightBorder = -2; //初始化边界

        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) >> 1;
            if (nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            } else {//等于时也更新left才能在重复情况中找到右边界
                left = mid + 1;
                rightBorder = left;
            }
        }
        return rightBorder;
    }

    //查找左边界
    int getLeftBorder(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        int leftBorder = -2;

        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) >> 1;
            if (nums[mid] >= target) {
                right = mid - 1;
                leftBorder = right;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return leftBorder;
    }
}

方法2：用二分法找到一个索引，再寻找左右边界

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        //1. 查找是否存在值
        int index = getTargetIndex(nums, target);
        if (index == -1) return new int[]{-1, -1};
        //2. 左右滑动寻找范围
        int left = index;
        int right = index;
        //找左边界
        while (left - 1 >= 0 && nums[left - 1] == target) {left--;}
        //找右边界
        while (right + 1 < nums.length && nums[right + 1] == target) {right++;}

        return new int[]{left, right};
    }
    //查找其中值的位置
    //返回值为-1时，不在其中
    int getTargetIndex(int nums[], int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            } else if (nums[mid] < target){
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

69. x 的平方根

使用二分法在整数区间找平方根

1. 当数等于平方根mid×mid == x时mid
2. 当存在mid×mid < x < (mid+1)×(mid+1)时，也可以判定取整平方根为mid

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        int left = 0;
        int right = x/2 + 1;
        int ans = -1;
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) >> 1;
            if ((long) mid * mid <= x){//长整数
                /* 可以添加
                if ((long)(mid + 1)*(mid + 1) > x ){
                    return mid;
                }
                */
                ans = mid;//赋值出问题
                left = mid + 1;//出循环的条件
            } else {
                right = mid - 1;
            } 
        }
        return ans;
    }
}

367. 有效的完全平方数

有序，不重复数组，可以使用二分法

1. 确定遍历区间
2. 用二分法判断数的平方是否等于输入数num，如果存在等于的数输出为true，结束程序；如果不存在，返回false

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        int left = 1;
        int right = num/2 + 1;//减小区间
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            long pow = (long) mid * mid;
            if (pow == num){
                return true;
            } else if (pow < num) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return false;
    }
}