平衡二叉树

平衡因子（Balance Factor，简称BF）：BF(T) = hL-HR,其中hL和HR分别为T的左、右子树的高度。

平衡二叉树(Balanced Binary Tree)（AVL树）：空树，或者任意结点左、右子树高度差的绝对值不超过1，即|BF(T)|≤1

平衡二叉树的高度能到达log2N吗？

设nh高度为h的平很二叉树的最少结点数。结点数最少时：nh=nh-1+nh-2+1

斐波那契数列： F0=1,F1=1,Fi=Fi-1+Fi-2 for i>1


 

平衡二叉树的调整

  • 不平衡的“发现者”是Mar,“麻烦结点”Nov在发现者右子树的右边，因而叫RR插入，需要RR旋转（右单旋）

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  • “发现者”是Mar，“麻烦结点”Apr在发现者左子树的左边，因而叫LL插入，需要LL旋转（左单旋）

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  • “发现者”是May，“麻烦结点”Jan在左子树的右边，因而叫LR插入，需要LR旋转

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  • “麻烦结点”在右子树的左边，因而叫 RL 插入，需要RL 旋转

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  1 typedef struct AVLNode *Position;
  2 typedef Position AVLTree;
  3 struct AVLNode {
  4     ElementType Data;   /* 结点数据 */
  5     AVLTree Left;
  6     AVLTree Right;
  7     int Height;         /* 树高 */
  8 };
  9 
 10 int Max(int a, int b)
 11 {
 12     return a>b?a:b;
 13 }
 14 
 15 int GetHeight(AVLTree A)
 16 {
 17     int MaxH, HR, HL;
 18     if(A) {
 19         HL = GetHeight(A->Left);
 20         HR = GetHeight(A->Right);
 21         MaxH = (HL>HR)?HL:HR;
 22         return MaxH+1;
 23     }
 24     return -1;          //如果树为空树高为-1，叶子结点为0
 25 }
 26 
 27 AVLTree SingleLeftRotation(AVLTree A)
 28 {
 29     /* 注意：A必须有一个左子结点B */
 30     /* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */
 31     AVLTree B = A->Left;
 32     A->Left = B->Right;
 33     B->Right = A;
 34     A->Height = Max(GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right)) + 1;
 35     B->Height = Max(GetHeight(B->Left), A->Height) + 1;
 36 
 37     return B;
 38 }
 39 
 40 AVLTree SingleRightRotation(AVLTree A)
 41 {
 42     /* A必须有一个右结点B */
 43     /* 将A与B做右单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */ 
 44     AVLTree B = A->Right;
 45     A->Right = B->Left;
 46     B->Left = A;
 47     A->Height = Max(GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right)) + 1;
 48     B->Height = Max(GetHeight(B->Right), A->Height) + 1;
 49 
 50     return B; 
 51 }
 52 
 53 AVLTree DoubleLeftRightRotation(AVLTree A)
 54 {
 55     /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C */
 56     /* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C */
 57     
 58     /* 将B与C做右单旋，C被返回 */
 59     A->Left = SingleRightRotation(A->Left);
 60     /* 将A与C做左单旋，C被返回 */
 61     return SingleLeftRotation(A);
 62 }
 63 
 64 AVLTree DoubleRightLeftRotation(AVLTree A)
 65 {
 66     A->Right = SingleLeftRotation(A->Right);
 67 
 68     return SingleRightRotation(A);    
 69 }
 70 
 71 AVLTree Insert(AVLTree T, ElementType X)
 72 {
 73     /* 将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树 */
 74     if(!T) {    /* 若插入空树，则新建包含一个结点的树 */
 75         T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
 76         T->Data = X;
 77         T->Height = 0;
 78         T->Left = T->Right = NULL;
 79     } else if(X < T->Data) {
 80         /* 插入T的左子树 */
 81         T->Left = Insert(T->Left, X);
 82         /* 如果需要左旋 */
 83         if(GetHeight(T->Left) - GetHeight(T->Right) == 2) {
 84             if(X < T->Left->Data)
 85                 T = SingleLeftRotation(T);      /* 左单旋 */
 86             else
 87                 T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */
 88         }
 89     } else if(X > T->Data) {
 90         /* 插入T的右子树 */
 91         T->Right = Insert(T->Right, X);
 92         /* 如果需要右旋 */
 93         if(GetHeight(T->Left) - GetHeight(T->Right) == -2) {
 94             if(X > T->Right->Data)
 95                 T = SingleRightRotation(T);     /* 右单旋 */
 96             else
 97                 T = DoubleLeftRightRotation(T);    /* 左-右双旋 */
 98         }
 99     }
100 
101     /* 更新树高 */
102     T->Height = Max(GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right)) + 1;
103     return T;
104 }

 


 

posted @ 2018-04-09 22:52  习惯就好233  阅读(384)  评论(0)  编辑  收藏  举报