树与树的表示

树的定义

树（tree）：n（n≥0）个节点构成的有限集合。当n=0时，为空树。

对于任一棵非空树（n＞0），它具备以下性质：

• 树中有一个称为“根（Root）”的特殊结点，用r表示；
• 其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1，T2，...，Tm，其中每个集合本身又是一颗树，称为原来树的“子树”（SubTree）

树与非树

• 子树是不相交的
• 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父节点
• 一颗N个结点的树有N-1条边

树的一些基本术语

1.结点的度（Degree）：结点子树个数

2.树的度：树的所有结点中最大的度数

3.叶结点（Leaf）：度为0的结点

4.父结点（Parent）：有子树的结点是其子树的根结点的父结点

5.子结点（Child）：若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点；子结点也称孩子结点

6.兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点。

7.路径和路径长度：从结点n1到nk的路径为一个结点序列n1,n2,...,nk,ni是ni+1的父结点。

路径所包含边的个数为路径的长度。

9.祖先结点（Ancestor）：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点。

10.子孙结点（Descendant）：某一结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙。

11.结点的层次（Level）：规定根结点在1层，其他任一结点的层数是其父结点的层数加1。

12.树的深度（Depth）：树中所有结点总的最大层次是这棵树的深度。

二叉树

一个有穷结点集合。这个集合可以为空，若不为空，则它是由根结点和称为其左子树T_L和右子树T_R的两个不相交的二叉树组成。

• 二叉树的五种基本形态

• 二叉树的子树有左右顺序之分

特殊二叉树

• 斜二叉树
• 完美二叉树、满二叉树
• 完全二叉树：有n个及诶点的二叉树，对树中结点按从上至下、从左到右顺序进行编号，编号为i（1≤i≤n）结点与满二叉树中编号为i结点在二叉树中位置相同

二叉树的几个重要特性

• 一个二叉树第i层的最大结点树为：2^i-1,i≥1。
• 深度为K的二叉树有最大结点总数为：2^k-1，k≥1。
• 对任何非空二叉树T，若n₀表示叶结点的个数、n₂是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系n₀=n₂+1。

二叉树的抽象数据类型定义

类型名称：二叉树

数据对象集：一个有穷的结点集合。若不为空，则有根结点和其左、右二叉子树组成。

操作集：BT∈BinTree, Item∈ElementType，重要操作有：

1、Boolean IsEmpty（BinTree BT）：判别BT是否为空

2、void Traversal（BinTree BT）：遍历，按某顺序访问每个结点

3、BinTree CreateBinTree（）：创建一个二叉树

常用的遍历方法有：

void PreOrderTraversal（BinTree BT）：先序----根、左子树、右子树

void InOrderTraversal（BinTree BT）：中序----左子树、根、右子树

void PostOrderTraversal（BinTree BT）：后序---左子树、右子树、根

void LevelOrderTraversal（BinTree BT）：层次遍历，从上到下、从左到右

二叉树的存储结构

1.顺序存储

完全二叉树：按从上至下、从左到右的顺序存储n个结点的完全二叉树的结点父子关系：

• 非根结点（序号i＞i）的父结点的序号是[i/2]；
• 结点（序号为i）的左孩子结点的序号是2i，（若2i≤n，否则没有左孩子）；
• 结点（序号为i）的右孩子结点的序号是2i+1,（若2i+1≤n，否则没有右孩子）

2.链表存储

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode {
    ElementType Data;
    BinTree Left;
    BinTree Right;
};