向量的内积(也叫点积)

代数定义:

设二维空间内有两个向量,定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数:

更一般地,n维向量的内积定义如下:

其中两个维度相同的向量的内积也可以表示为:

 

几何定义(只适用于2维和3维空间):

 

 

运算律:

交换律:
分配律:
结合律:

 ,其中m是实数

 

公式是很容易理解,但是意义呢?

内积运算将两个向量映射为一个实数。其计算方式非常容易理解,但是其意义并不明显。下面我们分析内积的几何意义。假设A和B是两个n维向量,我们知道n维向量可以等价表示为n维空间中的一条从原点发射的有向线段,为了简单起见我们假设A和B均为二维向量,则A=(x1,y1)B=(x2,y2。则在二维平面上A和B可以用两条发自原点的有向线段表示,见下图:

 

好,现在我们从A点向B所在直线引一条垂线。我们知道垂线与B的交点叫做A在B上的投影,再设A与B的夹角是a,则投影的矢量长度为|A|cos(a),其中

是向量A的,也就是A线段的标量长度

注意这里我们专门区分了矢量长度标量长度标量长度总是大于等于0,值就是线段的长度;而矢量长度可能为负,其绝对值是线段长度,而符号取决于其方向与标准方向相同或相反

到这里还是看不出内积和这东西有什么关系,不过如果我们将内积表示为另一种我们熟悉的形式:

 现在事情似乎是有点眉目了:A与B的内积等于A到B的投影长度乘以B的模。再进一步,如果我们假设B的模为1,即让|B|=1|B|=1,那么就变成了:

也就是说,设向量B的模为1,则A与B的内积值等于A向B所在直线投影的矢量长度!这就是内积的一种几何解释,也是我们得到的第一个重要结论。在后面的推导中,将反复使用这个结论

 

 

 

 

posted on 2020-09-07 13:49  小小喽啰  阅读(26668)  评论(0编辑  收藏  举报