向量的内积（也叫点积）

代数定义：

设二维空间内有两个向量和，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：

更一般地，n维向量的内积定义如下：

其中两个维度相同的向量的内积也可以表示为：

 

几何定义（只适用于2维和3维空间）：

 

 

运算律：

交换律：

分配律：

结合律：

 ，其中m是实数

 

公式是很容易理解，但是意义呢？

内积运算将两个向量映射为一个实数。其计算方式非常容易理解，但是其意义并不明显。下面我们分析内积的几何意义。假设A和B是两个n维向量，我们知道n维向量可以等价表示为n维空间中的一条从原点发射的有向线段，为了简单起见我们假设A和B均为二维向量，则A=(x1,y1)，B=(x2,y2) 。则在二维平面上A和B可以用两条发自原点的有向线段表示，见下图：

 

好，现在我们从A点向B所在直线引一条垂线。我们知道垂线与B的交点叫做A在B上的投影，再设A与B的夹角是a，则投影的矢量长度为|A|cos(a)，其中

是向量A的模，也就是A线段的标量长度。

注意这里我们专门区分了矢量长度和标量长度，标量长度总是大于等于0，值就是线段的长度；而矢量长度可能为负，其绝对值是线段长度，而符号取决于其方向与标准方向相同或相反。

到这里还是看不出内积和这东西有什么关系，不过如果我们将内积表示为另一种我们熟悉的形式：

 现在事情似乎是有点眉目了：A与B的内积等于A到B的投影长度乘以B的模。再进一步，如果我们假设B的模为1，即让|B|=1|B|=1，那么就变成了：

也就是说，设向量B的模为1，则A与B的内积值等于A向B所在直线投影的矢量长度！这就是内积的一种几何解释，也是我们得到的第一个重要结论。在后面的推导中，将反复使用这个结论