幂函数
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一、基本概念
幂函数是基本初等函数之一。
一般地,y = xa (α为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y = x0 、y = x1 、y = x2 、y = x-1 (注:y = x-1 =1/x、y = x0时x≠0)等都是幂函数。
二、python画图
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from scipy import stats x=np.linspace(-5,5, 500,dtype=float) y=np.power(x,2) y1=np.power(x,3) y2=np.power(x,0.5) plt.plot(x,y,color='r',label='y=x^2') plt.plot(x,y1,color='g',label='y=x^3') plt.plot(x,y2,color='y',label='y=x^0.5') plt.legend(loc='upper right')#把图例放在右上角 plt.show()
三、定义域和值域
幂函数的一般形式是 y = xa ,其中,a可为任何常数
这个数据太复杂了,想看定义域和值域,只看画图看吧,我把画图函数放在这里
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from scipy import stats def mi_plot(a): x=np.linspace(-5,5, 500,dtype=float) y=np.power(x,a) b='y=x^'+str(a) plt.plot(x,y,color='r',label=b) plt.legend(loc='upper right')#把图例放在右上角 plt.show() mi_plot(0) mi_plot(1/2) mi_plot(1) mi_plot(1.5) mi_plot(2) mi_plot(2.5) mi_plot(3)
四、性质
正值性质
负值性质
零值性质
五、单调区间
单调区间:
当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:
①当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增;
mi_plot(3)
②当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增;
mi_plot(4)
③当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);
mi_plot(-1)
④当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。
mi_plot(-2)
当α为分数时(且分子为1),α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性:
①当α>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增;
mi_plot(1/2)
②当α>0,分母为奇数时,函数在第一三象限各象限内单调递增;
mi_plot(1/5)
③当α<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减;
mi_plot(-1/2)
④当α<0,分母为奇数时,函数在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);
mi_plot(-1/3)
六、特性
对于α的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:
首先我们知道如果 a = p/q,q和p都是整数,则 :
如果q是奇数,函数的定义域是R;如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。
当指数α是负整数时,设α=-k,则 ,显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
α小于0时,x不等于0;
α的分母为偶数时,x不小于0;
α的分母为奇数时,x取R。