指数函数

一、基本概念

细胞的分裂是一个很有趣的现象，新细胞产生的速度之快是十分惊人的。例如，某种细胞在分裂时，1个分裂成2个，2个分裂成4个……因此，第x次分裂得到新细胞数y与分裂次数x的函数关系式即为：

指数函数是重要的基本初等函数之一。

一般地，y = a^x 函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R ，值域为(0， +∞)，注意，在 a^x前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。

如： y = 10^x, y=π^x,....都是指数函数；注意：y=3 * 2^{x 指数函数前系数为3，不是指数函数}

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为 e^x ，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数

二、python画图

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import stats

x=np.linspace(-2,2, 500,dtype=float)
y=np.power(2,x)
y1=np.power(0.5,x)
y2=np.power(3,x)
y3=np.power(0.3,x)
plt.plot(x,y,color='r',label='a=2')
plt.plot(x,y1,color='g',label='0=0.5')
plt.plot(x,y2,color='y',label='a=3')
plt.plot(x,y3,color='b',label='a=0.3')

plt.legend(loc='upper right')#把图例放在右上角
plt.show()

再画一下以e为底的指数

x=np.linspace(-3,3, 500,dtype=float)
y=np.power(np.e,x)
plt.plot(x,y,label='a=e')

图像特征：

(1)由指数函数y=a^x (a>0) 与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大

(2)由指数函数y=a^x (0<a<1) 与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）

(4)y=a^x 于 y=(1/a)^x 的图像关于y轴对称

三、基本特征

基本性质如下：

（1）指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
（2）指数函数的值域为(0， +∞)。
（3）函数图形都是上凹的。
（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（不等于0）函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点。