方差分析(Anova)

1.单因素方差分析：

单因素方差分析：只有一个因素A对实验指标有影响，假设因素A有r个水平，分别在第i个水平下进行多次独立的观察，所得到的实验指标数据如下：

A_1：N(μ₁,σ²)   X₁₁  X₁₂   ... X_1n1

A_2：N(μ₂,σ²)   X₂₁  X₂₂   ... X_2n2

Ar：N(μ_r,σ²)    X_r1   X_r2   ... X_rnr

注意：每个水平的观测次数不一定一样

各总体间相互独立，因此有下面的模型：

 X_ij就是第i个水平的第j个观测值，μ_{i就是第i个水平的理论均值，εi}显示随机误差（误差服从正态分布）

分析因素A对于实验指标是否有显著影响，可以看因素A不同水平的均值是否有显著差异，因此有如下假设：

原假设：H₀:μ₁=μ₂=...μ_r

备选假设 H1：既是均值不全相等

X_ij有偏差，要不就是由于不同水平的均值不同，又或者是随机误差的存在，因此全部X_ij之间的差异的公式如下：

上面这个叫总偏差平方和 

有A因素引起的 差异叫效应平方和S_{A （反应的是在因素A的不同水平下，样本均值和总体数据均值差异的平方和），}随机误差引起的差异，叫做误差平方和S_{E （反应是在因素A的各个取值下，每组观察数据与这组数据均值的平方误差之和，反应的是随机误差的大小）}

首先计算误差平方和 ，这样个体之间的差异的每个水平的均值没有关系，因此有如下：

 综合上述表达，得到：

 总偏差平方和减去误差平方和，得到

 S_E如果除以σ²则会符合自由度为n_i-1的卡方分布

当H0为真的时候，但是我们不知道σ^2，因此为了抵消这个未知量，我们构造的检验统计量为：

 

 我们最终只会关系p值，如果p>0.05则接受原假设，否则拒绝原假设

例子：

import pandas as pd
import numpy as np

from scipy import stats
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lm

# 这是那四个水平的索赔额的观测值
A1 = [1.6, 1.61, 1.65, 1.68, 1.7, 1.7, 1.78]
A2 = [1.5, 1.64, 1.4, 1.7, 1.75]
A3 = [1.6, 1.55, 1.6, 1.62, 1.64, 1.60, 1.74, 1.8]
A4 = [1.51, 1.52, 1.53, 1.57, 1.64, 1.6]

data = [A1, A2, A3, A4]
# 方差的齐性检验
w, p = stats.levene(*data)
if p < 0.05:
    print('方差齐性假设不成立')

# 成立之后， 就可以进行单因素方差分析
f, p = stats.f_oneway(*data)
print(f, p)      #  stats.f_oneway函数就可以直接算出检验假设的f值和p值

为什么要做方差记性检验：方差齐性检验是方差分析的重要前提，是方差可加性原则应用的一个条件

方差的齐性检验,如果p<0.05则拒绝原假设，即是方差不齐性 

 如果手动去计算：

#首先将数据改成DataFrame形式
values = A1.copy()
groups = []
for i in range(1, len(data)):
    values.extend(data[i])  #extend() 函数用于在列表末尾一次性追加另一个序列中的多个值

for i, j in zip(range(4), data):
    groups.extend(np.repeat('A'+str(i+1), len(j)).tolist())

df = pd.DataFrame({'values': values, 'groups': groups})


#单因素分析
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lm
anova_res = anova_lm(ols('values~C(groups)', df).fit())
anova_res.columns = ['自由度', '平方和', '均方', 'F值', 'P值']
anova_res.index = ['因素A', '误差']
anova_res        # 这种情况下看p值  >0.05 所以接受H0

 2.双因素方差分析：

双因素方差分析和多因素方差分析在原理上是一致的，

双因素方差分析就是在因素A,B作用下试验的指标，因素A有r个水平，因素B有s个水平，在A,B的不同水平下得到的试验结果如下：

 并设有条件

X_ijk独立，数学模型如下：

每一个格子都有一个平均值，每一行每一列也有平均值，这里先定义均值：

μ是总的均值，再定义两个公式：

αi为水平Ai上的效应，βj为水平Bj的效应 ，很显然

 将其代入到前面的公式里面，得到;

这个模型就会得到三个假设检验问题

因素A对于实验结果是否带来了显著效果

因素B对于实验结果是否带来了显著效果

两者组合是否带来了显著效果

因素A的i水平和因素B的j水平的平均值;

 因素A的i水平上的平均值：

 因素B的j水平均值：

 总的均值：

 总偏差平方和：

 

 其中S_E是误差平方和，S_A和S_B分别是因素A和B的效应平方和，S_AxB是A和B的组合效应平方和 

ST的自由度是rst-1，SE的自由度是rs(t-1)，S_A的自由度是r-1，S_B自由度是s-1

当H₀₁为真时：

 这时候取显著水平α，得到的拒绝域为：

 同理H₀₂拒绝域为：

H₀₃的拒绝域为：

 

 导入双因素分析使用到的包：

import pandas as pd
import numpy as np

from scipy import stats
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lm

# 这三个交互效果的可视化画图
from statsmodels.graphics.api import interaction_plot
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl      # 显示中文

# 这个看某个因素各个水平之间的差异
from statsmodels.stats.multicomp import pairwise_tukeyhsd

2.1无交互作用的情况：即是对每一个组合因素只进行一次独立实验，每一格只有一个值，称为无重复实验

下面进行双因素方差分析，简要流程是，先用pandas库的DataFrame数据结构来构造输入数据格式。然后用statsmodels库中的ols函数得到最小二乘线性回归模型。最后用statsmodels库中的anova_lm函数进行方差分析

#导入数据
dic_t2=[{'广告':'A1','价格':'B1','销量':276},{'广告':'A1','价格':'B2','销量':352},
       {'广告':'A1','价格':'B3','销量':178},{'广告':'A1','价格':'B4','销量':295},
       {'广告':'A1','价格':'B5','销量':273},{'广告':'A2','价格':'B1','销量':114},
       {'广告':'A2','价格':'B2','销量':176},{'广告':'A2','价格':'B3','销量':102},
       {'广告':'A2','价格':'B4','销量':155},{'广告':'A2','价格':'B5','销量':128},
       {'广告':'A3','价格':'B1','销量':364},{'广告':'A3','价格':'B2','销量':547},
       {'广告':'A3','价格':'B3','销量':288},{'广告':'A3','价格':'B4','销量':392},
       {'广告':'A3','价格':'B5','销量':378}]
df_t2=pd.DataFrame(dic_t2,columns=['广告','价格','销量'])

进行方差分析

# 方差分析
price_lm = ols('销量~C(广告)+C(价格)', data=df_t2).fit()
table = sm.stats.anova_lm(price_lm, typ=2)

 

 即是不同价格和广告都会对销量有显著差异

fig = interaction_plot(df_t2['广告'],df_t2['价格'], df_t2['销量'],
                        ylabel='销量', xlabel='广告')

 

 

# 广告与销量的影响 
print(pairwise_tukeyhsd(df_t2['销量'], df_t2['广告'], alpha=0.05)) # 第一个必须是销量， 也就是我们的指标

 

2.2有交互作用的情况：

即是每个格子有不止一个值，也称为重复试验

#先构造数据

dic_t3=[{'燃料':'A1','推进器':'B1','射程':58.2},{'燃料':'A1','推进器':'B1','射程':52.6},
       {'燃料':'A1','推进器':'B2','射程':56.2},{'燃料':'A1','推进器':'B2','射程':41.2},
       {'燃料':'A1','推进器':'B3','射程':65.3},{'燃料':'A1','推进器':'B3','射程':60.8},
       {'燃料':'A2','推进器':'B1','射程':49.1},{'燃料':'A2','推进器':'B1','射程':42.8},
       {'燃料':'A2','推进器':'B2','射程':54.1},{'燃料':'A2','推进器':'B2','射程':50.5},
       {'燃料':'A2','推进器':'B3','射程':51.6},{'燃料':'A2','推进器':'B3','射程':48.4},
       {'燃料':'A3','推进器':'B1','射程':60.1},{'燃料':'A3','推进器':'B1','射程':58.3},
       {'燃料':'A3','推进器':'B2','射程':70.9},{'燃料':'A3','推进器':'B2','射程':73.2},
       {'燃料':'A3','推进器':'B3','射程':39.2},{'燃料':'A3','推进器':'B3','射程':40.7},
       {'燃料':'A4','推进器':'B1','射程':75.8},{'燃料':'A4','推进器':'B1','射程':71.5},
       {'燃料':'A4','推进器':'B2','射程':58.2},{'燃料':'A4','推进器':'B2','射程':51.0},
       {'燃料':'A4','推进器':'B3','射程':48.7},{'燃料':'A4','推进器':'B3','射程':41.4},]
df_t3=pd.DataFrame(dic_t3,columns=['燃料','推进器','射程'])

#方差分析

moore_lm = ols('射程~燃料+推进器+燃料:推进器', data=df_t3).fit()
table = sm.stats.anova_lm(moore_lm, typ=1)

 

 

fig = interaction_plot(df_t3['燃料'],df_t3['推进器'], df_t3['射程'],
                        ylabel='射程', xlabel='燃料')

 

 从这个图里面可以看出， (A4, B1)和(A3, B2)组合的进程最好

print(pairwise_tukeyhsd(df_t3['射程'], df_t3['燃料']))

 

 都是False， 说明A因素各个水平之间无显著差异

print(pairwise_tukeyhsd(df_t3['射程'], df_t3['推进器']))

 

 B也没有差异