约瑟夫环推导
转载自：https://blog.csdn.net/u010781856/article/details/46610655
约瑟夫环
约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围；从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。
前几天，在一篇文章中得知了约瑟夫环的问题。然后，就涉及了解决办法。这个问题，在许多计算机或者关于数据结构的书中都有提及，而其中的解决办法便是使用循环链表——无论这个循环链表是使用指针还是数组实现，模拟约瑟夫环的进行，最后得到解决方案。具体方法肯定早有某人披露。但是，令人深感奇妙的还是这个问题的数学解决。在不统计解决过程，即不统计每次都需要出列哪个序号时，就可以应用数学递推公式，直接得出最后剩下的那个人的序号。
使用数学方式，奇妙是很奇妙，也确实让人感受到数学的魅力。可是，在我查找如何推导出这个公式的时候，网上的解决方案都是在我觉得很关键的地方一笔带过。“众所周知”，“显而易见”，“很简单的”……诸如此类。我悲剧的郁闷了。所以在大家都陶醉在“数学真奇妙啊”的飘飘然中时，我惴惴不安。因为我只感受到了数学带给我的困惑。
对着网上的推导思考良久，终于茅塞顿开。所以赶紧写下来，以防以后再次悲剧和郁闷。并且希望以后看到这篇文章的人，能和我一样摆脱困惑。
先总结一下约瑟夫环的递推公式：
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f[1]=0; f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
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f[1]=1; f[i]=(f[i-1]+m)%i (i>1); if(f[i]==0) f[i]=i;
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P(1, m, k)=1 (i = 1); P(i, m, k)=[P(i - 1, m, k ) + m - 1] % i + 1 (i > 1, 此处先减1是为了让模i的值不为0)
那么这三个公式有什么不同？
首先可以肯定的是这三个公式都正确。公式1，得到的是以0～n-1标注的最终序号；公式2，3得到的就是正常的1~n的序号；并且公式2和公式3其实是一个意思。下面我们就分别推导三个公式，并且推导的过程中，你也就能明白这三个公式的共同点和不同点。
公式1的推导：——————————
给出一个序列，从0～n-1编号。其中，k代表出列的序号的下一个，即k-1出列。
a 0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1
那么，出列的序号是(m-1)%n，k=m%n（这个可真的是显而易见）。出列k-1后，序列变为
b 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1
然后，我们继续从n-1后延长这个序列，可以得到
c` 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2
我们取从k开始直到n+k-2这段序列。其实这段序列可以看作将序列b的0~k-2段移到了b序列的后面。这样，得到一个新的序列
c k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2
好了，整个序列c都减除一个k，得到
d 0, 1, …, n-2
c序列中的n-1, n, n+1都减除个k是什么？这个不需要关心，反正c序列是连续的，我们知道了头和尾，就能知道d序列是什么样的。
这样你看，从序列a到序列d，就是一个n序列到n-1序列的变化，约瑟夫环可以通过递推来获得最终结果。ok，继续向下。
剩下的就是根据n-1序列递推到n序列。假设在n-1序列中，也就是序列d中，我们知道了最终剩下的一个序号是x，那么如果知道了x转换到序列a中的编号x`，不就是知道了最终的结果了么？
下面我们就开始推导出序列a中x的序号是什么。
d->c，这个变换很容易，就是x+k；
c->b，这个变换是网上大家都一带而过的，也是令我郁闷的一个关键点。从b->c，其实就是0~k-2这段序列转换为n~n+k-2这段序列，那么再翻转回去，简单的就是%n，即(x+k)%n。%n以后，k~n-1这段序列值不会发生变化，而n~n+k-2这段序列则变成了0～k-2；这两段序列合起来，就是序列b。
于是乎，我们就知道了，x`=(x+k)%n。并且，k=m%n，所以x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n。公式1就出来了：f[i]=(f[i-1]+m)%i。当然，i=1就是特殊情况了，f[1]=0。这里还有一个小问题。也许你会迷惑为什么x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n中的%n变成公式中f[i]=(f[i-1]+m)%i中的%i？其实这个稍微想想就能明了。我们%n就是为了从序列c转换到序列b——这是在n-1序列转换成n序列时%n；那么从n-2转换到n-1呢？不是要%(n-1)了吗？所以这个值是变量，不是常量。
好了，这个最后需要注意的就是从一开始，我们将n序列从0～n-1编号，所以依据公式1得出的序号是基于0开始的。
代码：
#include<cstdio>
int main(){
int n,m;
while(scanf("%d %d",&n,&m)==2&&n&&m){
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= n;++i){
ans = (ans + m) % i;
//printf("%d %d\n",i,ans+1);
}
printf("总人数:%d 每次出列的人喊的号数:%d 最后一个出列的人的序号:%d\n",n,m,ans+1);
}
return 0;
}
