RMQ算法
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RMQ（ST算法）
RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列a，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i, j<=n)，返回数列a中下标在i，j之间的最小/大值。如果只有一次询问，那样只有一遍for就可以搞定，但是如果有许多次询问就无法在很快的时间处理出来。在这里介绍一个在线算法。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。
步骤如下：
假设a数组为：
1， 3， 6， 7， 4， 2， 5
1.首先做预处理（以处理区间最小值为例）
设mn[i][j]表示从第i位开始连续2^j个数中的最小值。例如mn[2][1]为第2位数开始连续2个的数的最小值，即3, 6之间的最小值，即mn[2][1] = 3;
之后我们很容想到递推方程：
mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << j - 1)][j - 1])
附上伪代码：
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1
2
3
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for(int j = 0; j < 20; j ++) for(int i = 1; i + (1 << j) <= n + 1; i ++) mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); |
咦？为什么第二行是i + （1 << j) <= n + 1呢？因为mn[i][j]表示连续2^j个数，所以mn[i][j]所维护的区间为[i, i + (1 << j) - 1],所以在最后要+1，其实是为了方便，写成i + (1 << j) - 1 <= n感觉左边太长了，所以写在右边了。
那么为什么j要写在外围？如果写在里面的输出结果是这样的
我们会发现没有更新过，这是为什么呢？ 因为我们在更新的时候是通过要通过2^(j - 1)的区间来更新2^j的区间，来看状态转移方程：
mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << j - 1)][j - 1])
我们发现如果j写在里面的话，在更新mn[i][j]的时候会发现mn[i +(1<<j - 1)][j - 1]还没有更新，所以才会出现这样的结果，正确结果如下：
咦？为什么还有0？我们来看伪代码：
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1
2
3
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for(int j = 0; j < 20; j ++) for(int i = 1; i + (1 << j) <= n + 1; i ++) mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); |
看第二行会发现，对于i + （1 << j) - 1超过n的，我们没有更新，如图中的mn[5][2]，5 + 2^2 - 1 = 8 > 7所以没有更新，但这并不影响询问的结果。
2.查询
假设我们需要查询区间[l, r]中的最小值，令k = log2(r - l + 1); 则区间[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(mn[l][k], mn[r - (1 << k) + 1][k]);
那么为什么这样就可以保证为区间最值吗?
mn[l][k]维护的是[l, l + 2 ^ k - 1], mn[r - (1 << k) + 1][k]维护的是[r - 2 ^ k + 1, r] 。
那么我们只要保证r - 2 ^ k + 1 <= l + 2 ^ k - 1就能保证RMQ[l,r] = min(mn[l][k], mn[r - (1 << k) + 1][k])；
我们用分析法来证明下：
若r - 2 ^ k + 1 <= l + 2 ^ k - 1;
则r - l + 2 <= 2 ^ (k + 1);
又因为 k = log2(r - l + 1)；
则r - l + 2 <= 2 *(r - l + 1);
则r - l >= 0;
显然可得。
由此得证。
我们来举个例子 l = 4, r = 6;
此时k = log2(r - l + 1) = log2(3) = 1;
所以RMQ[4, 6] = min(mn[4][1], mn[5][1]);
mn[4][1] = 4, mn[5][1] = 2;
所以RMQ[4, 6] = min(mn[4][1], mn[5][1]) = 2;
我们很容易看出来了答案是正确的。
附上总代码：（以结构体的形式写出）：
1 #include <cstdio>
2 #include <algorithm>
3 using namespace std;
4 const int N = 100000 + 5;
5
6 int a[N];
7
8 int mn[N][25];
9
10 int n, q, l, r;
11
12 struct RMQ{
13 int log2[N];
14 void init(){
15 for(int i = 0; i <= n; i ++)log2[i] = (i == 0 ? -1 : log2[i >> 1] + 1);
16 for(int j = 1; j < 20; j ++)
17 for(int i = 1; i + (1 << j) <= n + 1; i ++)
18 mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
19 }
20 int query(int ql, int qr){
21 int k = log2[qr - ql + 1];
22 return min(mn[ql][k], mn[qr - (1 << k) + 1][k]);
23 }
24 }rmq;
25
26 void work(){
27 rmq.init();
28 scanf("%d", &q);
29 while(q --){
30 scanf("%d%d", &l, &r);
31 printf("%d\n", rmq.query(l, r));
32 }
33 }
34
35 int main(){
36 while(scanf("%d", &n) == 1){
37 for(int i = 1; i <= n; i ++)scanf("%d", a + i), mn[i][0] = a[i];
38 work();
39 }
40 return 0;
41 }
