图论_连通_连通分量
强连通图 : 强连通分量就是本身
有向图 --->
非强连通图 : 多个强连通分量
图--->
连通图 : 连通分量就是本身
无向图 --->
非连通图 : 多个连通分量
路径 : 顾名思义.
路径长度 : 路径上边的数量.
路径 : 顾名思义.
路径长度 : 路径上边的数量.
连通 : 无向图顶点A可以到顶点B,则称A,B连通.
强连通 : 有向图中，两个顶点间至少存在一条互相可达路径，则两个顶点强连通
连通图 : 图中任意两点都连通的图.
强连通图 : 有向图的任意两点都强连通.
连通分量 : 无向图的极大连通子图称为连通分量.连通图只有一个连通分量,即自身
强连通分量: 强连通图有向图的极大强连通子图.强连通图的强连通分量只有一个,即强连通图本身.
基图 : 将有向图的所有边替换成无向边形成的图.
弱连通图 : 基图是连通图的有向图.(即,连通的有向图)
求图的连通分量的目的，
是为了确定从图中的一个顶点是否能到达图中的另一个顶点，
也就是说，
图中任意两个顶点之间是否有路径可达。
求强连通分量有多种算法.
我用的Tarjan算法. 复杂度O(V+E)
这两个博客写得不错:
https://www.cnblogs.com/reddest/p/5932153.html
https://www.cnblogs.com/shadowland/p/5872257.html
int dfn[16]; // 时间戳 int dfn_num = 0; // 时间 int low[16]; // 节点u所能访问到的最小时间戳 int inSt[16]; // 节点u是否在栈中. int st[16]; int top = 0; // 我们维护的信息. int col[16]; // 给节点染色, 同一个连通块的节点应该是同一个颜色的. int col_num = 0; // 颜色值. int size[16]; // 每个颜色值所拥有的块数. /* 第一步: 访问当前节点的所有子节点: 子节点有三种 第一种: 未访问过的, 我们对它进行访问, 同时设置它的时间戳dfn[u]和low[u]为++ndfn_num,以及进栈. 第二种: 访问过的,并且在栈中,我们直接更新我们 当前 节点的low[] --> 注意 应该用low[u] 和 dfn[v]比较. 第三种: 访问过的,并且不在栈中的, 我们直接跳过.因为这个时候,所以它已经染色了,属于一个连通块了. 第二步: 如果dfn[u] == low[u] 说明 已经找到一个连通块了. 这时候我们要将栈顶元素弹出,直到当前节点. 记得也要修改inSt, 同时维护我们需要的信息. */ void Tarjan(int u) { int v, i; dfn[u] = low[u] = ++dfn_num; //添加时间戳. st[++top] = u; // 进栈 inSt[u] = true; // 标示在栈 for (i=head[u]; i; i=edge[i].lst) { v = edge[i].to; if (!dfn[v]) { Tarjan(v); low[u] = min(low[u], low[v]); } else if (inSt[v]) { low[u] = min(low[u], dfn[v]); } } if (dfn[u] == low[u]) { col_num++; do { inSt[st[top]] = false; col[st[top]] = col_num; size[col_num]++; } while (st[top--] != u); } }
加上2个板子题.
http://codevs.cn/problem/1332/
题目很简单: 要你求出最大的强连通块,如果有多个则输出字典序最小的一个.
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 5e4+500; struct Edge { int lst; int to; }edge[maxn<<1]; int head[maxn]; int qsz = 1; inline void add(int u, int v) { edge[qsz].lst = head[u]; edge[qsz].to = v; head[u] = qsz++; } int dfn[maxn]; // 时间戳 int dfn_num = 0; // 时间 int low[maxn]; // 节点u所能访问到的最小时间戳 int inSt[maxn]; // 节点u是否在栈中. int st[maxn]; int top = 0; // 我们维护的信息. int col[maxn]; // 给节点染色, 同一个连通块的节点应该是同一个颜色的. int col_num = 0; // 颜色值. int size[maxn]; // 每个颜色值所拥有的块数. int id[maxn]; void Tarjan(int u) { int v, i; dfn[u] = low[u] = ++dfn_num; //添加时间戳. st[++top] = u; // 进栈 inSt[u] = true; // 标示在栈 for (i=head[u]; i; i=edge[i].lst) { v = edge[i].to; if (!dfn[v]) { Tarjan(v); low[u] = min(low[u], low[v]); } else if (inSt[v]) { low[u] = min(low[u], dfn[v]); } } if (dfn[u] == low[u]) { col_num++; id[col_num] = u; do { inSt[st[top]] = false; col[st[top]] = col_num; size[col_num]++; id[col_num] = min(id[col_num], st[top]); } while (st[top--] != u); } } int main() { memset(id, 0x3f, sizeof(id)); int n, i, u, v, m, t; scanf("%d%d", &n, &m); for (i=1; i<=m; ++i) { scanf("%d%d%d", &u, &v, &t); add(u, v); if (t==2) add(v, u); } for (i=1; i<=n; ++i) if (!dfn[i]) Tarjan(i); int mm = 0, tcol = -1; for (i=1; i<=col_num; ++i) if (mm < size[i]) { mm = size[i]; tcol = i; } else if (m == size[i]) { if (id[tcol] > id[i]) tcol = i; } // printf("%d \n", tcol); printf("%d\n", mm); for (i=1; i<=n; ++i) if (col[i] == tcol) printf("%d ", i); printf("\n"); return 0; }
https://vjudge.net/problem/HYSBZ-1051
题目: 求出所有牛都欢迎的牛的个数. 我们可以把所有连通块求出,然后把一个连通块看成一个点,即缩点. 然后找到出度为零的点(连通块), 如果有且只有一个,那么连通块的点数就是答案,否则答案为零.
#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; struct Edge { int lst; int to; }edge[50500]; int head[10100]; int qsz = 1; inline void add(int u, int v) { edge[qsz].lst = head[u]; edge[qsz].to = v; head[u] = qsz++; } int dfn[10100]; // 时间戳 int dfn_num = 0; // 时间 int low[10100]; // 节点u所能访问到的最小时间戳 int inSt[10100]; // 节点u是否在栈中. int st[10100]; int top = 0; // 我们维护的信息. int col[10100]; // 给节点染色, 同一个连通块的节点应该是同一个颜色的. int col_num = 0; // 颜色值. int size[10100]; // 每个颜色值所拥有的块数. /* 第一步: 访问当前节点的所有子节点: 子节点有三种 第一种: 未访问过的, 我们对它进行访问, 同时设置它的时间戳dfn[u]和low[u]为++ndfn_num,以及进栈. 第二种: 访问过的,并且在栈中,我们直接更新我们 当前 节点的low[] --> 注意 应该用low[u] 和 dfn[v]比较. 第三种: 访问过的,并且不在栈中的, 我们直接跳过.因为这个时候,所以它已经染色了,属于一个连通块了. 第二步: 如果dfn[u] == low[u] 说明 已经找到一个连通块了. 这时候我们要将栈顶元素弹出,直到当前节点. 记得也要修改inSt, 同时维护我们需要的信息. */ void Tarjan(int u) { int v, i; dfn[u] = low[u] = ++dfn_num; //添加时间戳. st[++top] = u; // 进栈 inSt[u] = true; // 标示在栈 for (i=head[u]; i; i=edge[i].lst) { v = edge[i].to; if (!dfn[v]) { Tarjan(v); low[u] = min(low[u], low[v]); } else if (inSt[v]) { low[u] = min(low[u], dfn[v]); } } if (dfn[u] == low[u]) { col_num++; do { inSt[st[top]] = false; col[st[top]] = col_num; size[col_num]++; } while (st[top--] != u); } } bool ou[10010]; int main() { // freopen("E:\\input.txt", "r", stdin); int n, i, j, u, v, m; scanf("%d%d", &n, &m); for (i=1; i<=m; ++i) { scanf("%d%d", &u, &v); add(u, v); } for (i=1; i<=n; ++i) if (!dfn[i]) Tarjan(i); // 缩点操作 int cnt = 0, res = 0; for (i=1; i<=n; ++i) { if (ou[col[i]]) continue; for (j=head[i]; j; j=edge[j].lst) { v = edge[j].to; if (col[i] != col[v]) { ou[col[i]] = true; break; } } } for (i=1; i<=col_num; ++i) { if (!ou[i]) { res = size[i]; cnt++; } if (cnt > 1) { res = 0; break; } } printf("%d\n", res); return 0; }
