6366. 在网格图中访问一个格子的最少时间（dijkstra在矩阵上的运用）

题目

• https://leetcode.cn/problems/minimum-time-to-visit-a-cell-in-a-grid/description/

思路

• 首先，这是一个最短路问题
• 直接用朴素记忆化搜索或者bfs无法实现“反复横跳”这一功能（只有有两个点以上可以走，就可以走到任意一个有最小时间限制的点）
• 所以更换思维，用图论的方式思考
  • 每个点到上下左右有一条特殊的边，边权值为$max(1,(grid[xx][yy]-dist[x][y])/2\ast 2+1)$，前者是一步的权值，后者是需要“反复横跳”才能走到的位置
  • 用堆优化dijkstra方法，因为最大的grid元素不超过1e5，所以堆中的元素是有限的，走的步数也是有限的
  • 当新的最短路径长度小于dist中对应点的大小，更新dist，然后入队
• 教训：最短路问题都可以通过优化建边的技巧来解决┭┮﹏┭┮
• 下面方法和题解的思路有一点不同，通过观察下标得到一个重要的结论：走到一个点的步数奇偶性和下标x+y的奇偶性相同
• 其实都是一个道理，展现出来的面不同

代码

class Solution {

    struct node
    {
        int x,y,ti;
        bool operator < (const node & t)const{
            return ti > t.ti;
        }
    };
    

public:
    int minimumTime(vector<vector<int>>& grid) {
        if(grid[0][1] > 1 && grid[1][0] > 1)
        {
            return -1;
        }
        int n = grid.size(),m = grid[0].size();
        int dx[] = {0,1,0,-1},dy[] = {1,0,-1,0};
        vector<vector<int>> dist(n,vector<int>(m,1e9));
        dist[0][0] = 0;

        priority_queue<node> q;q.push({0,0,0});
        
        while(1){
            auto[x, y, d] = q.top();
            q.pop();
            if (x == n - 1 && y == m - 1)
                return d;
            for (int i = 0;i < 4;i ++) {
                int xx = x + dx[i],yy = y + dy[i];
                if (0 <= xx && xx < n && 0 <= yy && yy < m) {
                    int nd = max(d + 1, grid[xx][yy]);
                    nd += (nd - xx - yy) % 2;
                    if (nd < dist[xx][yy]) {
                        dist[xx][yy] = nd; // 更新最短路
                        q.push({xx,yy,nd});
                    }
                }
            }
        }

        return dist[n-1][m-1];
    }
};