前缀后缀01背包(牛客2023多校D清楚姐姐学01背包)

0x1f 题目:


0x2f 题意:

  • 定义初始背包的最优解Vmax
  • 定义n个物品去掉任意一个后,最优解为Vmax
  • 每一个物品w[i],v[i],在v[i]上加上一个最小值,使得Vmax > Vmax
  • 背包的容量是m

0x3f 思路:

  • 前缀背包:pre[i][j] 表示前 i 个物品使用体积为 j 的最大价值
  • 后缀背包:suf[i][j] 表示 i 之后物品使用体积为 j 的最大价值(转移的方法和01背包一样)
  • 接下来贪心考率在什么情况下Vmax > Vmax
    • 计算Vmaxmax0mj(pre[i1][j]+suf[i+1][mj])
    • 要让Vmax > Vmax成立,可以在背包里提前预留w[i],计算出最大值,要让物品i成为必需品,至少需要加上 Vmax + 1 - Vmax+v[i]
    • 为什么?因为贪心结果是必须把物品 i 放入背包的,只有这一个物品,容易贪心留w[i]的空间是最优的
    • 计算预留w[i]空间:max0mw[i]j(pre[i1][j]+suf[i+1][mjw[i]])

0x4f 代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define debug1(a) cout<<#a<<'='<< a << endl;
#define debug2(a,b) cout<<#a<<" = "<<a<<"  "<<#b<<" = "<<b<<endl;
#define debug3(a,b,c) cout<<#a<<" = "<<a<<"  "<<#b<<" = "<<b<<"  "<<#c<<" = "<<c<<endl;
#define debug4(a,b,c,d) cout<<#a<<" = "<<a<<"  "<<#b<<" = "<<b<<"  "<<#c<<" = "<<c<<"  "<<#d<<" = "<<d<<endl;
#define debug5(a,b,c,d,e) cout<<#a<<" = "<<a<<"  "<<#b<<" = "<<b<<"  "<<#c<<" = "<<c<<"  "<<#d<<" = "<<d<<"  "<<#e<<" = "<<e<<endl;
#define endl "\n"
#define fi first
#define se second
#define caseT int T;cin >> T;while(T--)

#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<LL,LL> PLL;

//#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
//#pragma GCC optimize(2)

inline int rd()
{
	int f=1,x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return f*x;
}

//常数定义
const double eps = 1e-6;
const double PI = acos(-1.0);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 5010;

void solve(){
    int n, m; cin >> n >> m;
    vector<int>w(n), v(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }
    vector<vector<LL>> pre(n, vector<LL>(m + 1));
    vector<vector<LL>> suf(n, vector<LL>(m + 1));
    for(int  i = 0; i < n; ++i) {
        if(i) pre[i] = pre[i - 1];
        for(int j = m; j >= w[i]; --j) {
            pre[i][j] = max(pre[i][j], pre[i][j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    for(int i = n - 1; i >= 0; --i) {
        if(i < n - 1) suf[i] = suf[i + 1];
        for(int j = m; j >= w[i]; --j) {
            suf[i][j] = max(suf[i][j], suf[i][j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        LL max1 = 0, max2 = 0;
        for(int j = 0; j <= m; ++j) {
            max1 = max(max1, (i ? pre[i - 1][j] : 0) + (i + 1 < n ? suf[i + 1][m - j] : 0));
        }
        for(int j = 0; j <= m - w[i]; ++j) {
            max2 = max(max2, (i ? pre[i - 1][j] : 0) + (i + 1 < n ? suf[i + 1][m - j - w[i]] : 0));
        }
        cout << max(0LL, max1 + 1 - v[i] - max2) << "\n";
    }
}

signed main()
{
    
    /*
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    */

    //caseT
        solve();

    return 0;

}
/*

*/
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