使用LDA线性判别分析进行多类的训练分类

　　本文使用LDA作为分类器在matlab下做实验。

　　其中投影转换矩阵W按照LDA的经典理论生成，如下的LDA函数，并返回各个类的投影后的（ｋ－１）维的类均值。

LDA.m代码如下：

function [W,centers]=LDA(Input,Target)
% Ipuut:    n*d matrix,each row is a sample;
% Target:   n*1 matrix,each is the class label 
% W:        d*(k-1) matrix,to project samples to (k-1) dimention
% cneters:  k*(k-1) matrix,the means of each after projection 


% 初始化
[n dim]=size(Input);
ClassLabel=unique(Target);
k=length(ClassLabel);

nGroup=NaN(k,1);            % group count
GroupMean=NaN(k,dim);       % the mean of each value
W=NaN(k-1,dim);             % the final transfer matrix
centers=zeros(k,k-1);       % the centers of mean after projection
SB=zeros(dim,dim);          % 类间离散度矩阵
SW=zeros(dim,dim);          % 类内离散度矩阵

% 计算类内离散度矩阵和类间离散度矩阵
for i=1:k    
    group=(Target==ClassLabel(i));
    nGroup(i)=sum(double(group));
    GroupMean(i,:)=mean(Input(group,:));
    tmp=zeros(dim,dim);
    for j=1:n
        if group(j)==1
            t=Input(j,:)-GroupMean(i,:);
            tmp=tmp+t'*t;
        end
    end
    SW=SW+tmp;
end
m=mean(GroupMean);    
for i=1:k
    tmp=GroupMean(i,:)-m;
    SB=SB+nGroup(i)*tmp'*tmp;
end

% % W 变换矩阵由v的最大的K-1个特征值所对应的特征向量构成
% v=inv(SW)*SB;
% [evec,eval]=eig(v);
% [x,d]=cdf2rdf(evec,eval);
% W=v(:,1:k-1);

% 通过SVD也可以求得
% 对K=(Hb,Hw)'进行奇异值分解可以转换为对Ht进行奇异值分解.P再通过K,U,sigmak求出来
% [P,sigmak,U]=svd(K,'econ');=>[U,sigmak,V]=svd(Ht,0);
[U,sigmak,V]=svd(SW,0);
t=rank(SW);
R=sigmak(1:t,1:t);
P=SB'*U(:,1:t)*inv(R);
[Q,sigmaa,W]=svd(P(1:k,1:t))
Y(:,1:t)=U(:,1:t)*inv(R)*W;
W=Y(:,1:k-1);

% 计算投影后的中心值
for i=1:k
    group=(Target==ClassLabel(i));
    centers(i,:)=mean(Input(group,:)*W);
end

    

　　因为LDA是二类分类器，需要推广到多类的问题。常用的方法one-vs-all方法训练K个分类器（这个方法在综合时不知道怎么处理？），以及任意两个分类配对训练分离器最后得到k(k-1)/2个的二类分类器。本文采用训练后者对样本进行训练得到模型model。在代码中，model为数组struct。

用于训练的函数LDATraining.m

function [model,k,ClassLabel]=LDATraining(input,target)
% input:        n*d matrix,representing samples
% target:       n*1 matrix,class label
% model:        struct type(see codes below)
% k:            the total class number          
% ClassLabel:   the class name of each class
%
model=struct;
[n dim]=size(input);
ClassLabel=unique(target);
k=length(ClassLabel);

t=1;
for i=1:k-1
    for j=i+1:k
        model(t).a=i;
        model(t).b=j;
        g1=(target==ClassLabel(i));
        g2=(target==ClassLabel(j));
        tmp1=input(g1,:);
        tmp2=input(g2,:);
        in=[tmp1;tmp2];
        out=ones(size(in,1),1);
        out(1:size(tmp1,1))=0;
%         tmp3=target(g1);
%         tmp4=target(g2);
%         tmp3=repmat(tmp3,length(tmp3),1);
%         tmp4=repmat(tmp4,length(tmp4),1);
%         out=[tmp3;tmp4];
        [w m]=LDA(in,out);
        model(t).W=w;
        model(t).means=m;
        t=t+1;
    end
end

　　在预测时，使用训练时生成的模型进行k(k-1)/2次预测，最后选择最多的分类作为预测结果。在处理二类分类器预测时，通过对预测样本作W的投影变换再比较与两个类的均值进行比较得到（不知道有没有更好的办法？）

用于预测的函数LDATesting.m

function target=LDATesting(input,k,model,ClassLabel)
% input:        n*d matrix,representing samples
% target:       n*1 matrix,class label
% model:        struct type(see codes below)
% k:            the total class number          
% ClassLabel:   the class name of each class
[n dim]=size(input);
s=zeros(n,k);
target=zeros(n,1);

for j=1:k*(k-1)/2
    a=model(j).a;
    b=model(j).b;
    w=model(j).W;
    m=model(j).means;
    for i=1:n
        sample=input(i,:);
        tmp=sample*w;
        if norm(tmp-m(1,:))<norm(tmp-m(2,:))
            s(i,a)=s(i,a)+1;
        else
            s(i,b)=s(i,b)+1;
        end
    end
end
for i=1:n
    pos=1;
    maxV=0;
    for j=1:k
        if s(i,j)>maxV
            maxV=s(i,j);
            pos=j;
        end
    end
    target(i)=ClassLabel(pos);
end

示例代码为：

function target=test(in,out,t)
[model,k,ClassLabel]=LDATraining(in,out);
target=LDATesting(t,k,model,ClassLabel);

　　实验中对USPS数据集进行了测试，效果不怎么好，正确率才39%左右，而这个数据集使用KNN算法可以达到百分之百九十的正确率，汗！