常用算法（二）

续 常用算法（一）

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五，动态规划

适用条件

• 问题的解可由子问题的解组合而成；
• 子问题有重叠，会被重复求解；
• 无后效性。某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各种状态及决策的影响。例如钢条切割问题。当n=3的最佳方案求出之后，计算n=4时的最佳方案时不会再影响到n=3的最佳方案的结果了。又例如最大子数组的和问题，当P[i]求出之后，在计算P[i+1]时，不会改变P[i]的值。
• 经常用于求最优解，或求完成某种任务的方法个数

解题步骤

1. 求出递推式（求递推式可以采用自顶向下的选择法，也可采用自底向上的递推法。）
   • 选择法(推荐，更直观)：主问题上做一个选择，问题变化成一个或多个子问题。常用于问题能够被化为多个子问题的情况：如干活（连续两天干活后必须休息一天）。又如best time to buy and sell a stock IV
   • 递推法：假设子问题已经被解决，主问题在子问题的基础上如何解：常用于问题能够被化为一个子问题的情况。（最大子数组的和）
2. 第二步：自底向上，用一个数组保存子问题的求解结果。或自顶向下，用cache保存结果　

动态规划的变形

有些问题难以做到直接使用动态规划求解，需要一个转换。例如最大子数组的和问题。如果希望直接用动态规划，令P[i]为子数组0到i的最大子数组的和，则难以推导出P[i+1]和P[i]的关系。所以，令P[i]为子数组0到i的，以i为右边界的最大子数组的和，则可以容易推导出P[i+1]与P[i]的关系。

• Maximum sub array
• Longest palindrome string
• Unique Binary search tree

有些题中，为了求得最终结果，需要规划多个递推式。

• Maximum product subarray 此题以i为右边界的子数组的最大乘积需要依赖于以i-1为右边界的子数组的最大（正数）和最小乘积（负数）。负数x负数=正数
• Best time to buy and sell stock IV 两递推式：前i天最多允许j次交易的全局最优解g[i][j]和前i天最多允许j次交易，且最后一次交易发生在第i天的局部最优解l[i][j]

六，贪心法

适用条件

• 可用动态规划解的问题。
• 寻优问题
• 当前问题做出一个最优选择之后，转化为唯一的一个子问题，然后递归求解
• 动态规划中，做出的每一个选择，依赖于子问题的解。贪心则不依赖子问题的解，它只是当前最优的方案。例如Jump Game。如从正向开始求解，令P[i]为从i处到目的地所需要的最少步数，则这是个动态规划的方案。因为从i出走出的第一步到哪个位置依赖于子问题P[j] ( j是>i且i能到达的所有位置)的值。如从终点反向开始求解，第一步为能到达终点的最远的一个位置，然后递归求解，则是贪心方案，因为当前选择并未依赖任何子问题的解。事实上，子问题尚未求解。

解题步骤

　　自顶向下，用递归的方式

前提

　　需要证明这个贪心的选择能够得到最优解

题例

• Jump game
• Meeting room

七，排序应用

全排序

预排序，应用于数组，和双指针算法一起工作

• Container with most water
• 2 sum

强制排序，适用于排除重复解

• Permutation II
• Subsets II

预排序，可以将o(n2)的算法降为o(nlogn)

• Merge Intervals

部分排序

分割，应用于数组，适用于不需要全部排序，然后需要找到某个位置的场合

• Find k biggest number

基数排序及其它，适用于时间复杂度要求较高的场合 o(n).

• Maximum Gap