[USACO18OPEN] Talent Show

[USACO18OPEN]Talent Show && 18.09.21模拟赛T2 mynameiszbt

洛谷P4377 传送门

01分数规划。

下面直接搬来出题人zhx大佬的题解，感觉写的比网上的都好。

 

设有n组数据a,b，对于每一组数据，都有选和不选两种状态（设状态为x，选则x=1,不选则x=0），现在欲求出所有选中的数据中，∑a/∑b的最大值。

接下来是一些数学问题：

设原式最大值为R，R=∑（ai·xi）/∑（bi·xi）

若设L为某一种不那么优的选法，则恒有R>=L

则：∑（ai·xi）/∑（bi·xi）>=L

于是：∑（ai·xi）>=∑（bi·xi）·L

那么：∑（ai·xi）-∑（bi·xi）·L>=0

所以：∑（（ai-bi·L）·xi）>=0

所以我们构造一个函数f(L)，f(L)=∑（（ai-bi·L）·xi）

这时我们讨论一下函数f(L)的性质：

根本性质一：首先，对于所有有意义的R,L，f（L）>=0，

根本性质二：其次，设d=ai-bi·L，则d随L单调递减！

那么我们会发现，如果L足够大，那么无论x如何取值，所得函数值均小于0！

这就与根本性质一相矛盾。

于是我们发现，一定存在一个临界状态的L能够使得∃f(L)>=0,而使得∀f(L+1)<0！

同时我们发现，如果我们求出了L的最大值，那么这个最大值其实就等价于R的值

而且这个L满足单调性，故可以二分答案！

对于每个L，我们仅需按贪心地求出f(L)最大值，判断其正负即可。

当然，对于本题，需要dp出最值即可，利用01背包。

 

本人对于01分数规划的理解：

把要解决的问题转换为可二分答案的式子。

至于为什么要用背包：因为这道题有一个总质量不小于W的限制，所以用背包求解。

设f[i]为质量为i的时候，f(L)的最大值，最后判断f(L)是否合法（是否大于0）。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

int n,tot;
int w[255],t[255];
ll f[1005];

int check(int k)
{
    for(int i=1;i<=tot;i++)f[i]=-0x3f3f3f3f;
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=tot;j>=0;j--)
        {
            if(f[j]==-0x3f3f3f3f)continue;
            int nw=min(tot,j+w[i]);
            f[nw]=max(f[nw],f[j]+t[i]-(ll)w[i]*k);
        }
    }
    return f[tot]>=0;
}

int main()
{
    //freopen("mynameiszbt.in","r",stdin);
    //freopen("mynamelszbt.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&tot);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&t[i]),t[i]*=1000;
    int ans=0;
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(check(ans|(1<<i)))ans|=(1<<i);
    printf("%d",ans);
    //fclose(stdin);
    //fclose(stdout);
    return 0;
}

另外，01分数规划还可以应用到树上和图里。

网上有好多这样的题啊我都没做过。