卢卡斯定理

求组合数取模的利器——卢卡斯定理。

设C(n,m)表示m个里取n个的方案数。

则有：C(n,m) % p = C(n%p,m%p) * C(n/p,m/p) % p

证明：我不会......

代码实现就很简单了，预处理出所有p以内的阶乘及阶乘逆元。

求C的时候，如果m大于p，利用卢卡斯定理递归求值。

如果m在p以内，直接用阶乘及阶乘逆元求出来。

特别地，如果n>m，C(n,m) = 0 。

下面来一道模板题：洛谷P3807 【模板】卢卡斯定理

#include<cstdio>
#define ll long long

ll n,m,p,t;
ll fac[100005];
ll inv[100005];

ll c(ll cn,ll cm)
{
    if(cm<cn)return 0;
    if(cm<=p)
    {
        return fac[cm]*inv[cn]%p*inv[cm-cn]%p;
    }else
    {
        return c(cn%p,cm%p)*c(cn/p,cm/p)%p;
    }
}

int main()
{
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
        for(int i=1;i<=p;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%p;
        for(int i=2;i<=p;i++)inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        for(int i=2;i<=p;i++)inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%p;
        printf("%lld\n",c(m,n+m));
    }
    return 0;
}