【Luogu】P3195玩具装箱（斜率优化DP）

　　这题还是比较炫的

　　题目链接

　　我们设f[i]是已经装了前i个玩具，且第i个玩具是某箱子里装的最后一个东西（废话）

　　那我们很轻松可以想到一个转移方程

for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=0;j<i;++j)
        f[i]=min(f[i],f[j]+squa(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)

　　其中sum是玩具长度的前缀和，squa是平方。

　　但是O(50000*50000)瞬间爆炸

　　我们设f[i]是由f[j]转移过来的，j是最优转移，同时还有一个不那么优的转移k

　　那肯定有\(f[j]+squa(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)<f[k]+squa(c[i]-c[k]+i-k-1-L)\)

　　我们设\(M=sum[i]-1-L,T[j]=sum[j]+j\)

　　容易发现M只和i有关，T只和j有关

　　然后\(f[j]+squa(M-T[j])<f[k]+squa(M-T[k])\)

　　两边平方和展开划一划得到

　　\(((f[j]+squa(T[j]))-(f[k]+squa(T[k])))/(2*(T[j]-T[k]))>M\)

　　注意到f,T,M都是单调的

　　于是可以单调队列斜率优化

　　为什么是斜率优化呢？因为左面那个大于M的东西看着像斜率啊

　　233

　　附上一个讲斜率优化的博客

　　yybyyb

　　代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<iostream>

using namespace std;

inline long long read(){
    long long num=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)){
        num=num*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return num*f;
}

long long f[1000200];
long long M[1000200];
long long T[1000200];
long long c[1000200];
int s[1000200],h,t;
inline long long squa(long long a){    return a*a;    }
inline long long count(int x,int y){    return ((f[x]+squa(T[x]))-(f[y]+squa(T[y])))/(2*(T[x]-T[y]));    }

int main(){
    int n=read(),l=read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        c[i]=read()+c[i-1];
        f[i]=1e18;
        T[i]=c[i]+i;
        M[i]=c[i]+i-l-1;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(h<t&&count(s[h],s[h+1])<=M[i])    h++;
        int x=s[h];
        f[i]=f[x]+squa(M[i]-T[x]);
        while(h<t&&count(s[t-1],s[t])>=count(s[t],i))    t--;
        s[++t]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}