矩阵乘法和斐波那契数列【清北学堂】

　　这篇博客是一边听课一边写的

　　两个矩阵做乘法的先决条件是一个矩阵的宽和另一个矩阵的高相等

　　比如一个2*3的矩阵和一个3*4的矩阵就可以相乘

　　乘出来的效果是这样的

　　比如有个1*2的矩阵[ a b ]　　和2*1的矩阵　[ c ]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  [ d ]

 

　　那乘出来的效果就是[ a*c+b*d ]

　　好吧并不理解

　　再比如[ a b ]　　*　　[ e f ]　　=　　[ ae+bg af+bh ]

　　　　　[ c d ]　　　　 [ g h ] 　　　　 [ ce+dg cf+dh ]

　　这样

　　矩阵乘法可以用来求一些奇怪的递推式，如斐波那契数列和、斐波那契数列平方和等等

　　比如求斐波那契平方和的矩阵乘法如下

　　[ 1 1 3 3 1 ]　　[ Sum ]

　　[ 0 1 3 3 1 ]　　[ (i-1)^3] 

　　[ 0 0 1 2 1 ]　　[ (i-1)^2]

　　[ 0 0 0 1 1 ]　　[ i-1 ]

　　[ 0 0 0 0 1 ]　　[ 1　]

　　两个矩阵相乘可以搞出斐波那契的平方和

　　推导过程如下

　　首先我们看到，在每一次循环中  Sum=Sum+i^3

　　那么i^3怎么来的呢   肯定不能直接来，于是我们要往之前 的循环中找

　　也就是找到i^3和(i-1)^3的联系

　　容易推出 (i-1)^3 = i^3-3i^2+3i-1

　　也就是说，为了推出i^3，我们需要(i-1)^3、(i-1)^2、i-1和1

　　于是推出如上矩阵

　　首先我们发现上式移项得出i^3=(i-1)^3+3i^2-3i+1

　　又对上式进行配方  得到 (i-1)^3+3(i-1)^2+3(i-1)+1

　　我们把左面的矩阵从下往上推导

　　明确的知道我们需要一个1 所以 矩阵最下面除了对应 1的第五个空填1 其他的都是0

　　再看倒数第二行    i=i-1+1  

　　第三行   i^2=(i-1)^2+2*(i-1)+1

　　以此类推  就酱