平衡二叉树的判断

平衡二叉树的判断

如何判断是否为平衡二叉树？

答：每个节点的左右子树高度差的绝对值小于等于1，我们认为该二叉树平衡；

​ 只要有一个节点的左右子树高度差绝对值大于1，我们认为这颗二叉树不平衡。

因此，判断一棵树是否平衡，需要计算树的高度以及判断高度差。

下面介绍两种判断平衡二叉树的方式：自顶向下，自底向上。

树节点的定义

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */

自顶向下

伪码描述

int getHeight(TreeNode* root){
    if(root为空节点) return 0;
    return 左子树与右子树的最大高度+1;
}
bool isBalanced(TreeNode* root){
    if(root为空节点) return ture;
    if(左子树为平衡树且右子树为平衡树)
        if(左子树与右子树的高度差小于2)
            return true;
    return false;
}

Talk is cheap . Show me the code

int getHeight(TreeNode* root){
	if(root==NULL) return 0;
	return max(getHeight(root->right),getHeight(root->left))+1;
}

bool isBalanced(TreeNode* root) {
	if(root==NULL) return true;
	if(isBalanced(root->left)&&isBalanced(root->right))
		if(abs(getHeight(root->left)-getHeight(root->right))<2)
			return true;
    return false;
}

算法分析：

时间复杂度：

\[O(n\log n) \]

空间复杂度：

\[O(n) \]

这不是最优算法，出现了很多冗余计算，getHeight函数显然要被重复调用很多次。计算每一个节点的时候，都重复计算了子节点的高度，浪费计算机算力，重复计算已经计算过的结果显然是不合适的。

解决的办法也呼之欲出，将每次计算出的高度传出来保存不就好了？

于是有了下面自底向上的方法。这样可以充分利用每次计算的高度的结果，降低计算量。

自底向上

伪码描述

int isBalancedHelper(TreeNode* root,int& height){
    if(root为空节点){
        height=0;
        return true;
    }
    int left,right;
    if(判断右子树是否是平衡数并把高度赋给right&&判断左子树是否是平衡数并把高度赋给left)
        if(left与right的差的绝对值小于2){
            height=left与right的最大值+1;
            return true;
        }
    return false;
}
bool isBalanced(TreeNode* root) {
    int height=0;
    return isBalancedHelper(root,height);
}

Talk is cheap . Show me the code

int isBalancedHelper(TreeNode* root,int& height){
    if(root==NULL){
        height=0;
        return true;
    }
    int left,right;
    if(isBalancedHelper(root->right,right)&&isBalancedHelper(root->left,left){
        if(abs(left-right)<2)){
            height=max(left,right)+1;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
bool isBalanced(TreeNode* root) {
    int height=0;
    return isBalancedHelper(root,height);
}

算法分析：

时间复杂度：

\[O(n) \]

空间复杂度：

\[O(n) \]

自底向上每次判断都把高度传了出去，并且每一次计算都充分利用子节点的高度数据，没有进行重复计算，在不提升空间复杂度的情况下，降低了整个算法的时间复杂度。