模式识别与机器学习中数学推导中用到的数学知识

每次手推公式就会遇见各种不会的，在网上搜了个总结的还不错的常用求导公式。。。继续更新中……

一、基本线性代数

以下部分原文地址：http://blog.163.com/live_freely/blog/static/151142060201023154057339/

在网上看到有人贴了如下求导公式：

Y = A * X --> DY/DX = A'

Y = X * A --> DY/DX = A

Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B'

Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'

于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下：

1. 矩阵Y对标量x求导：

相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了

Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]

2. 标量y对列向量X求导：

注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量

y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'

3. 行向量Y'对列向量X求导：

注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。

将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。

重要结论：

dX'/dX = I

d(AX)'/dX = A'

4. 列向量Y对行向量X’求导：

转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。

注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。

dY/dX' = (dY'/dX)'

5. 向量积对列向量X求导运算法则：

注意与标量求导有点不同。

d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)

d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'

重要结论：

d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A

d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A

d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X

6. 矩阵Y对列向量X求导：

将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。

注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。

7. 矩阵积对列向量求导法则：

d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)

d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)

重要结论：

d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A

8. 标量y对矩阵X的导数：

类似标量y对列向量X的导数，

把y对每个X的元素求偏导，不用转置。

dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]

重要结论：

y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = = UV'

y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU'

y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'

9. 矩阵Y对矩阵X的导数：

将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。

二、具体内容

1. hessian 矩阵，有函数则其hessian举证H(f)为

hessian矩阵可以判断函数的凹凸性，以及函数的极值点问题

当函数 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 二阶连续可导时，Hessian矩阵H在临界点 $x_0$ 上是一个 $n\times n$ 阶的对称矩阵。

当H是正定矩阵时，临界点 $x_0$ 是一个局部的极小值，f是下凸函数。
当H是负定矩阵时，临界点 $x_0$ 是一个局部的极大值，f是上凸函数。
H=0,需要更高阶的导数来帮助判断。
在其余情况下，临界点 $x_0$ 不是局部极值

2. Jensen不等式

如果f是凸函数，X是随机变量，那么

特别地，如果f是严格凸函数，那么当且仅当，也就是说X是常量。

这里我们将简写为。

如果用图表示会很清晰：

posted @ 2014-12-10 16:47 celia01 阅读(1245) 评论(0) 编辑收藏举报

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