线性代数 复习
1.方程组
我们可以使用矩阵来描述方程组,设AA是系数矩阵,[A|→b][A|→b]是它的增广矩阵。
方程组的解的情况只有3种:无解,有唯一解,有无数个解。
原因是假如方程组有有限个解,那么我们可以考虑它的两个解x,yx,y,它们的加权平均λx+(1−λ)yλx+(1−λ)y也是解(0<λ<10<λ<1)
并且当λλ不同,解也是不同的。由于实数有无限个,解也是无限个的。矛盾。
什么是初等行变换?初等行变换有3种:交换两行,把一行乘以某个常数,把一行乘以某个常数加在另一行上。
将增广矩阵(包括→b→b)进行任何初等行变换,方程组的解集都是相等的。
解方程组可以使用高斯消元法。最后会留下REF或者RREF。
并且解可以写成l+→a1b1+...+→akbkl+→a1b1+...+→akbk,bibi是实数,ll是一组特解。
定义先导元素:消元后增广矩阵每一行中第一个元素。定义REF,RREF:
REF满足:编号小的行的先导元素的编号一定在标号大的行的先导元素的左边,并且全00行一定出现在矩阵的最下方。
RREF除了满足REF的所有条件以外,还满足每一行的先导元素的值都是11,且是它所在行的唯一非00元素。
假设两个矩阵A,BA,B能够通过若干次初等行变换变成相等矩阵,那么称他们为行等价。
假设AA经过若干次初等行变换变成BB,那么BB的每一行都是AA的行的线性组合。
A,BA,B行等价的充要条件是它们的RREF相等。
一个方程组的REF不一定唯一,但是RREF一定是唯一的。
定义枢轴:某一个先导元素。定义枢轴行/列:包含先导元素的行/列。
假如某元素对应的列包含枢轴,那么将这个元素称为基础变量,否则称为自由变量。
定义mm行,nn列矩阵的秩:它的RREF的枢轴的数量,记为rank(A)rank(A),
矩阵的秩有如下性质:1.rank(A)≤min{m,n}rank(A)≤min{m,n}。
2.一个方程组有解当且仅当rank(A)=rank([A|→b])rank(A)=rank([A|→b]),并且rank(A)≤rank([A|→b])rank(A)≤rank([A|→b])
3.一个方程组的解包含n−rank(A)n−rank(A)个参数
4.系统[A|→b][A|→b]对于所有→b→b有解当且仅当rank(A)=mrank(A)=m
2.矩阵向量乘积
定义矩阵向量乘积:结果是一个向量,记作A→xA→x,它有2种表示方法:
1.设A→xA→x的第ii行的元素按顺序构成的向量是→Ai→Ai,Ai⋅→xAi⋅→x是A→xA→x的第ii个元素。
2.假设A=[→b1...→bn]A=[→b1...→bn],A→x=∑ni=1xi→biA→x=∑ni=1xi→bi
矩阵向量乘积有如下几个性质:
1.对于所有矩阵AA以及向量→x,→y→x,→y,A(→x+→y)=A→x+A→yA(→x+→y)=A→x+A→y
2.对于所有矩阵AA以及向量→x→x,实数cc,A(c→x)=cA→xA(c→x)=cA→x
使用向量乘积,方程组可以被写成A→x=→bA→x=→b的形式
为了判断一个矩阵是否满秩,我们事实上可以判定系统Ax=→eiAx=→ei对于所有i=1∼mi=1∼m的元素是否成立。
定义齐次线性方程组:[A|→b][A|→b]中→b=→0→b=→0的方程组。
对于该方程组→x=→0→x=→0显然是一组特解,称其为平凡解。
定义该方程组的解空间为Null(A)Null(A)。
齐次线性方程组有如下性质:
1.它的解集是mm元素实数向量的一个子空间。
换句话说,假设→x,→y→x,→y是它的解,那么c→x+d→yc→x+d→y(c,dc,d是任意实数)都是它的解。
2.我们可以通过齐次线性方程组的解得到一般方程组的解。
假如A→x=→bA→x=→b的一个特解是→x1→x1,那么A→x=→bA→x=→b的所有解由{→x+→x1:x1∈Null(A)}{→x+→x1:x1∈Null(A)}给出
3.性质2的推论有:假如我们有方程组A→x=→bA→x=→b,A→x=→cA→x=→c我们知道这两个方程组的特解→x1,→x2→x1,→x2,以及A→x=→c的解集合S
那么A→x=→b的所有解由{→x1−→x2+→x:→x∈S}给出
3.矩阵运算
定义m行n列矩阵A的转置AT:它有n行m列,ATj,i=Ai,j
定义矩阵A=[→b1...→bn]的列空间:Span({→b1...→bn}),记作Col(A)
同理定义行空间Row(A):Span({→A1...→An}),设A→x的第i行的元素按顺序构成的向量是→Ai
方程组A→x=→b有解当且仅当b∈Col(A)
有性质Row(A)=Col(AT),Col(A)=Row(AT)
假设两个矩阵A,B行等价,那么Row(A)=Row(B)
定义矩阵A,B相等:它们的行,列数相等,且对于所有i,j,Ai,j=Bi,j
A→ei是矩阵A的某列。
我们可以通过判断对于每个向量→x,A→x是否都等于B→x来判断A,B的相等性。
定义矩阵乘法AB=A[→b1....→bk]=[A→b1...A→bk],矩阵的标量积cA,(cA)i,j=cAi,j
矩阵乘法有另一种表示方式:ABi,j=∑ni=1Ak,iBi,j
定义矩阵的加法:C=A+B,Ci,j=Ai,j+Bi,j,A,B,C的规模必定相等。
对于所有矩阵A,B,C以及实数s,t矩阵的加法,乘法,标量积有如下性质:
1.ABC=(AB)C=A(BC)
2.A+B=B+A
3.A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)
4.(A+B)C=AC+BC
5.A(B+C)=AB+AC
6.s(A+B)=sA+sB
7.(t+s)A=tA+sA
8.r(sA)=(rs)A
9.s(AC)=(sA)C=A(sC)
定义零矩阵O:所有元素都是0的矩阵
对于所有矩阵A,零矩阵的性质有:
1.对于所有矩阵A,A+O=O+A=A
2.对于所有矩阵A,A+(−A)=O
对于所有矩阵A,B以及实数s矩阵转置的性质有:
1.(AT)T=A
2.(sA)T=sAT
3.(AC)T=CTAT
4.(A+B)T=AT+BT
4.方阵与方阵的逆
定义方阵:行数和列数相等的矩阵。
定义上三角方阵:对于某个矩阵A,如果对于所有i,j,i>j,Ai,j=0,那么它就是上三角方阵。
定义下三角方阵:对于某个矩阵A,如果对于所有i,j,i<j,Ai,j=0,那么它就是下三角方阵。
定义对角矩阵:对于某个矩阵A,只有Ai,i可能不为0的矩阵称为对角矩阵。
定义单位矩阵I:对于所有i满足Ai,i=1的矩阵。
所有矩阵和单位矩阵的乘积都是他自己。
定义初等矩阵:单位矩阵经过一次初等行变换所形成的矩阵。
有定理:假如我们对A进行某初等行变换得到矩阵B,并且对于单位矩阵进行同样的初等行变换我们得到矩阵E
那么B=EA
同理有如下推论:假如我们对A进行有限次初等行变换得到矩阵B,并且对于单位矩阵进行同样的初等行变换我们得到矩阵E1...Ek
那么B=Ek...E1A
对于某个矩阵A,如果存在矩阵B,C,使得BA=AC=I,那么称A可逆。我们也把B,C记作A−1
对于所有矩阵A,矩阵的逆有如下性质:
1.如果存在矩阵B,C,使得BA=AC=I,那么B=C
2.存在矩阵B使得BA=I,当且仅当存在矩阵C使得AC=I
判断n行n列的矩阵可逆,可以使用这2个等价的准则:
1.rank(A)=n
2.A的RREF是I
求矩阵A的逆,可以使用如下做法:
我们初始有一个矩阵[A|B],B=I
我们可以对A进行高斯消元,如果我对A进行某个初等行变换,那么我们也对B进行同样的初等行变换。
最后A如果变为单位矩阵,那么B就是我们要求的矩阵的逆。
5.行列式
n行方阵A的行列式有2种等价的定义方法:
首先定义只有一个元素的方阵的行列式为这个元素。
1.展开定义法。假设我们对任意一行(设为i)(列同理)展开,定义Bi,j为删除第i行j列的矩阵。
那么det(A)=∑nj=1Ai,j(−1)i+jdet(Bi,j)
2.排列定义法。假设a是1...n的一个排列,inv(a)是a的逆序对个数。
那么det(A)=∑a∏ni=1(−1)inv(a)Ai,ai
矩阵A的行列式有如下性质:
1.假如A的某行/列的元素全为0,那么其行列式为0
2.假如A是三角矩阵(对角矩阵同理),那么其行列式为其对角线元素的乘积。
3.假如A的所有元素Ai,j对于某个向量a都满足Ai,j=ai−1j(范德蒙行列式)
那么其行列式为∏1≤i<j≤n(aj−ai)
4.单位矩阵的行列式是1
5.det(A)=det(AT)
6.矩阵在进行将某行乘以某个实数的初等行变换后,行列式会乘以这个实数。
如果进行交换某行某列的初等行变换,那么行列式会取反。
如果进行将某行乘以某数加到另一行的行变换后,那么行列式不变。
这三个性质可以用于计算某初等矩阵的行列式,也可以让我们用高斯消元计算任意矩阵的行列式。
7.拥有相同行的矩阵的行列式为0
8.矩阵可逆的充要条件是行列式不为0。
9.det(AB)=det(A)det(B)
det(A−1)=1det(A)
定义余子式:矩阵A删除第i行j列后的行列式乘以(−1)i+j的值,记作Cij(A)。
伴随矩阵adj(A):余子式矩阵的转置。
有定理:Aadj(A)=adj(A)A=det(A)I
所以我们也可以使用伴随矩阵求出矩阵的逆:A−1=adj(A)det(A)
我们也可以使用行列式求出方程A→x=→b的解(Cramer's rule):
假设矩阵把第i列替换成b形成的矩阵是Bi,那么xi=det(Bi)det(A)
6.特征值
一个矩阵A的特征值λ满足:存在一个非零向量→x使得A→x=λ→x
同理定义一个线性变换B的特征值λ满足:存在一个非零向量→x使得T(→x)=λ→x
如何求出一个矩阵的特征值?A→x=λ→x等价于A→x−λ→xI=→0,(A−λI)→x=→0
所以det(A−λI)=0
定义矩阵的特征多项式CA(λ)=det(A−λI)=cnλn+cn−1λn−1+...+c0
为了计算矩阵的特征多项式,我们可以直接按照定义,把A减去λI后计算特征值。
矩阵的特征多项式有如下性质:
1.矩阵可逆当且仅当其特征值均不为0
2.定义矩阵的迹为tr(A)=∑ni=1Ai,i
那么cn=(−1)n,cn−1=tr(A)(−1)n−1,c0=det(A)
3.矩阵的特征多项式的所有根就是矩阵的所有特征值。
所以根据代数基本定理,矩阵会有n个可能重复的特征值。
4.根据3,我们可以推出tr(A)=∑ni=1λi
∏ni=1λi=det(A)
定义矩阵的特征空间:对于某特征向量λ,Eλ(A)=Null(A−λI),或者说是该特征值对应的特征向量的集合。
特征空间是一个线性空间。
定义矩阵A相似于B:存在可逆矩阵P使得P−1AP=B,或者说是A=PBP−1
如果矩阵A相似于矩阵B,那么:
1.Ak相似于Bk(k是整数)
2.他们的特征多项式,特征值,行列式,迹是相等的。
3.相似关系具有传递性,自反性,并且一个矩阵必须相似于自己。
4.对于所有向量空间的基B,C,任何一个线性变换T都满足[T]B相似于[T]C
7.对角化
部分矩阵是可以对角化的。
如果一个矩阵相似于一个对角矩阵,那么称其为可对角化的。
所有矩阵都相似于某上三角矩阵,但是不一定相似于某对角矩阵。
定义线性变换T是可对角化的,当且仅当存在一组基B,使得[T]B是对角矩阵。
有定理:线性变换T是可对角化的,当且仅当存在一组基B,使得B包含T的特征向量。
并且T可以对角化当且仅当对于某组基B,[T]B可对角化
有若干个性质:
1.对于不同的特征值,它们对应的特征向量都是线性无关的。
2.如果一个矩阵相似于一个对角矩阵D,那么对角矩阵的元素都是它的特征值。
并且假设其等于PDP−1,那么P的列就是它的特征值对应的特征向量。
3.假设一个特征值在特征向量中的根数量为aλ,其对应特征空间的维度数量为gλ
那么gλ≤aλ
4.设λ1...λk为矩阵A的若干个特征值,它们的特征空间有基B1...Bk
那么B1∪B2...∪Bk线性无关。
5.一个矩阵可对角化当且仅当对于所有特征值λ,gλ=aλ
矩阵对角化的一个应用是计算矩阵的次方。
如果我们想要计算Ak并且A可对角化,设A=PDP−1,D是对角矩阵
Ak=PDkP−1,而Dk是可以快速计算的。
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