对于2019新高考适应性考试最后一题的探究
(3)使用不动点法求\(a\)的通项公式\(
a_{n+1}=\frac{a_n+7}{a_n+1},a_{n+1}-\sqrt{7}=\frac{a_n+7}{a_n+1}-\sqrt{7}\)
\(a_{n+1}-\sqrt{7}=\frac{(a_n-\sqrt{7})(1-\sqrt{7})}{a_n+1}\)
\(a_{n+1}+\sqrt{7}=\frac{(a_n+\sqrt{7})(1+\sqrt{7})}{a_n+1}\)
两式相除，得到\(\frac{a_{n+1}-\sqrt{7}}{a_{n+1}+\sqrt{7}}=\frac{a_n-\sqrt{7}}{a_n+\sqrt{7}}\frac{(1-\sqrt{7})}{(1+\sqrt{7})}\)
\(a_1=1\)所以\(\frac{a_{n}-\sqrt{7}}{a_{n}+\sqrt{7}}=\frac{(1-\sqrt{7})^n}{(1+\sqrt{7})^n}\)
所以\(\frac{a_n}{\sqrt{7}}=\frac{(1+\sqrt{7})^n+(1-\sqrt{7})^n}{(1+\sqrt{7})^n-(1-\sqrt{7})^n}\)
要证\(2^{n-2}|2\ln a_n-\ln 7|<1\)，就是证明\(-\frac{1}{2^{n-1}}<\ln \frac{a_n}{\sqrt{7}}<\frac{1}{2^{n-1}}\)
当\(n\)是偶数，\((1-\sqrt{7})^n>0\)，\(\frac{(1+\sqrt{7})^n+(1-\sqrt{7})^n}{(1+\sqrt{7})^n-(1-\sqrt{7})^n}=\frac{a_n}{\sqrt{7}}>0\)需要证明\(\ln\frac{(1+\sqrt{7})^n+(1-\sqrt{7})^n}{(1+\sqrt{7})^n-(1-\sqrt{7})^n}<\frac{1}{2^{n-1}}\)，
\(\ln\frac{(1+\sqrt{7})^n+(1-\sqrt{7})^n}{(1+\sqrt{7})^n-(1-\sqrt{7})^n}<\frac{(1+\sqrt{7})^n+(1-\sqrt{7})^n}{(1+\sqrt{7})^n-(1-\sqrt{7})^n}-1=\frac{2(1-\sqrt{7})^n}{(1+\sqrt{7})^n-(1-\sqrt{7})^n}\)
令\(k=\frac{(1+\sqrt{7})}{(1-\sqrt{7})}\)，\(\frac{2(1-\sqrt{7})^n}{(1+\sqrt{7})^n-(1-\sqrt{7})^n}=\frac{2}{k^n-1}\)
使用数学归纳法证明\(\frac{2}{k^n-1}<\frac{1}{2^{n-1}},\frac{1}{k^n-1}<\frac{1}{2^n},1<k^n-2^n\)
假设对于\(n\)成立，要证明对于\(n+2\)成立，由于\(k^2>2^2\)，\(k^{n+2}-2^{n+2}>k^n2^2-2^{n+2}=2^2(k^n-2^n)\)
根据归纳假设，\(k^{n+2}-2^{n+2}>2^2(k^n-2^n)>4\)得证，所以偶数情况得证。
当\(n\)是奇数，\((1-\sqrt{7})^n>0\)，\(\frac{(1+\sqrt{7})^n+(1-\sqrt{7})^n}{(1+\sqrt{7})^n-(1-\sqrt{7})^n}=\frac{a_n}{\sqrt{7}}<0\)就是要证\(-\frac{1}{2^{n-1}}<\ln\frac{(1+\sqrt{7})^n+(1-\sqrt{7})^n}{(1+\sqrt{7})^n-(1-\sqrt{7})^n}\)
就是要证\(\ln\frac{(1+\sqrt{7})^n-(1-\sqrt{7})^n}{(1+\sqrt{7})^n+(1-\sqrt{7})^n}<\frac{1}{2^{n-1}}\)
类似\(n\)是偶数的情况同理可证。
事实上，\(\sqrt{7}\)是\(\{a_n\}\)的极限。
\(\lim_{n\to \inf}a_n=\sqrt{7}\frac{k^n+1}{k^n-1}=\sqrt{7}\frac{1+\frac{1}{k^n}}{1-\frac{1}{k^n}}\)
由于\(k>0\)，根据极限的运算法则有\(\lim_{n\to \inf}\sqrt{7}\frac{1+\frac{1}{k^n}}{1-\frac{1}{k^n}}=\sqrt{7}\frac{\lim_{n\to \inf}1+\frac{1}{k^n}}{\lim_{n\to \inf}1-\frac{1}{k^n}}=\sqrt{7}\)
根据\(-\frac{1}{2^{n-1}}<\ln \frac{a_n}{\sqrt{7}}<\frac{1}{2^{n-1}}\)，由夹逼定理可得\(\lim_{n\to \inf}\ln \frac{a_n}{\sqrt{7}}=0\),所以\(\lim_{n\to \inf} a_n=\sqrt{7}\)
