线性代数 学习笔记

第一部分：向量空间
向量空间指的是满足一些向量的性质的同类元素所构成的空间。
向量显然满足这个空间的性质。
向量空间的元素定义了加法，数乘操作满足如下8个性质：
1.\(\vec x+\vec y+\vec z=(\vec x+\vec y)+\vec z=\vec x+(\vec y+\vec z)\)
2.定义零向量\(\vec 0, \vec 0+\vec x=\vec 0\)，零向量是唯一的
3.存在一个负向量\(-\vec x,-\vec x+\vec x=0\)，负向量是唯一的
4.\(\vec x+\vec y=\vec y+\vec x\)
5.\(s\cdot (t\cdot \vec x)=(s\cdot t)\cdot \vec x\)
6.\(s\cdot \vec x+t\cdot \vec x=(s+t)\cdot \vec x\)
7.\(s\cdot \vec x+s\cdot \vec y=s\cdot (\vec x+\vec y)\)
8.\(1\cdot \vec x=\vec x\)
注意此处加法/乘法操作还要是符合等号的逻辑和元素的运算逻辑的。比如我们考虑旋转矩阵\(R\theta\)表示旋转\(\theta\)度
我们考虑\(R_0,R_{2\pi}\)，显然\(R_0=R_{2\pi}\)
考虑两边乘以\(\frac{1}{2}\)，得到\(R_0=R_{\pi}\)，然而这显然是不可能的。
向量空间还满足如下3个性质：
1.\(0\cdot \vec x=\vec 0\)
2.\(-\vec x=(-1)\cdot \vec x\)
3.\(t\cdot \vec 0=\vec 0\)
4.如果\(a\vec x=\vec 0\)，那么\(a=0\)或者\(\vec x=\vec 0\)
定义子空间：某向量空间的子集，并且这个空间也是向量空间
判断某空间\(T\)是否是子空间可以用如下测试：
1.\(T\)不为空
2.对于所有\(T\)中的\(\vec x,\vec y\)，\(\vec x+\vec y\)也属于\(T\)
3.对于所有\(T\)中的\(\vec x\)，\(c\cdot \vec x\)也属于\(T\)
两个向量空间的零向量是相同的。
定义某线性空间的子集\(S\)的元素的线性组合是\(Span(S)\)
\(Span\{空集\}=\{\vec 0\}\)
\(Span(S)\)也是子空间。
定义某线性空间\(S\)的子集\(\vec v_1...\vec v_n\)是线性无关的，当\(t_1\cdot \vec v_1+...+t_n\cdot \vec v_n\)的解只有\(0\)。
否则是线性相关。
\(\vec v_1...\vec v_n\)是线性相关的，当且仅当其中有一个向量等于其他向量的线性组合。
线性空间有如下性质：如果某向量组\(\vec v_1...\vec v_n\)线性相关，那么可以从中删除某向量（设为\(v_k\)）。
使得\(Span(\vec v_1...\vec v_{k-1},\vec v_{k+1}\vec v_n)=Span(\vec v_1...\vec v_n)\)
定义某线性空间\(S\)的基底\(\vec v_1...\vec v_n\)（\(\vec v_1...\vec v_n\)线性无关）：\(Span(\vec v_1...\vec v_n)=S\)，
定义\(\dim(S)\)：\(S\)的基底的大小。
所有\(S\)的基底的大小都是相同的。并且当\(Span(\vec a_1...\vec a_m)=S=Span(\vec v_1...\vec v_n)\)，\(m\geq n\)
特别的，度为\(n\)的多项式的基底大小是\(n+1\)。大小为\(n\)的实向量（数乘也只允许乘实数）的基底大小也为\(n\)。
在本文中，如果讲述某向量（此处不是指向量空间）的元素所在的集合\(S\)，那么\(S\)只可能是实数集或者虚数集。
为了得到向量空间\(S\)的一组基底\(T\)，通常有如下两种方法：
1.初始假设我们知道\(Span(T1)\) 是\(S\)的子集，\(T1\)可能为空
我们可以在\(T1\)中不断添加向量，使得添加的向量与现在的向量线性无关，直到\(Span(T1)=S\)
这也说明如果集合\(G\)是\(T\)的子集，那么\(\dim(G)<\dim(T)\)。
如果\(Span(T1)=S\)，我们不断删除现在的向量中和其他向量线性相关的向量以得到一组基。
如何证明\(T1\)是\(S\)的一组基？先证明\(T1\)线性无关，再证\(Span(T1)=S\)
2.猜出当前向量空间的一组基底，并且证明这组基底线性无关。
比如对于度为\(n\)的实多项式，我们可以猜出基底\(\{1,x,x^2...x^n\}\)，所以它的基底大小是\(n+1\)
考虑一个线性空间（\(n\)有限）的基底\(S=\{\vec v_1...\vec v_n\}\)，定义有序基底是\(v_1...v_n\)的一个排列。
定义某向量\(\vec t\)的坐标向量\(\vec a\)（记作\(\vec a=[\vec t]_B\)）：
\(a\)的所有元素都是常数，而且\(a_1v_1+...a_nv_n=\vec t\)（\(v_1...v_n\)是有序基底）
每个向量的坐标向量都是唯一的。
坐标向量有如下性质：\([\vec x]_B+[\vec y]_B=[\vec x+y]_B\)
\(c\cdot [\vec x]_B=[c\vec x]_B\)

第2部分：线性变换
定义线性变换：它是定义在两个向量空间\(S\to T\)的函数\(L\)，满足如下性质：
1.对于所有向量\(\vec x,\vec y,L(\vec x+\vec y)=L(\vec x)+L(\vec y)\)
2.对于所有向量\(\vec x\)和实数\(c\)，\(L(c\vec x)=cL(\vec x)\)
线性变换满足\(L(\vec 0_S)=\vec 0_T\)
原因是\(L(0\vec x)=0L(\vec x)=\vec 0_T\)
定义线性变换的核（kernel）是向量\(\vec x\)构成的集合，满足\(L(\vec x)=\vec 0_T\)，记作\(Ker(L)\)
定义线性变换的值域（range）：对于所有向量\(\vec x,L(\vec x)\)所构成的集合，记作\(Range(L)\)
定义\(rank(L)=\dim(Range(L))\)，\(nullity(L)=\dim(Ker(L))\)
有性质：线性变换的核，值域都是线性空间，并且满足\(rank(L)+nullity(L)=\dim(S)\)（后文设\(\dim(S)=n,\dim(T)=m\)）
线性变换与向量和矩阵的乘法密切相关：
考虑\(S\)的一组基\(\{\vec t_1...\vec t_n\}\)
存在一个矩阵\(M\)，\(M\)有\(m\)行，\(n\)列，使得\([L(\vec x)]_T=M[\vec x]_S\)。记作\({}_{S}[\vec x]_T\)
这是因为设\([\vec x]_S=p\)
考虑\(L(\vec x)=p_1L(t_1)+p_2L(t_2)+...+p_nL(t_n),[L(\vec x)]_T=p_1[L(t_1)]_T+p_2[L(t_2)]_T+...+p_n[L(t_n)]_T\)
考虑构造\(M=[[L(\vec t_1)]_T....[L(\vec t_n)]_T]\)
那么就有\([L(\vec x)]_T=Mp\)。
考虑\(Null(M)\)和\(Ker(L)\)的关系。事实上\(\vec x\in Ker(L)\)当且仅当\([\vec x]_T\in Null(M)\)
这是因为假设\(\vec x=a_1\vec t_1+...+a_n\vec t_n\)
\([L(\vec x)]_T=a_1[L(\vec t_1)]_T+...+a_n[L(\vec t_1)]_T=\vec 0\)
这事实上就是\(Null(M)\)
类似的，假设\(\vec x \in Range(L)\)当且仅当\([\vec x]_T\in Col(M)\)
这是因为假设\(\vec x=a_1L(\vec t_1)+...+a_nL(\vec t_n)\)
\([\vec x]_T=a_1[L(\vec t_1)]_T+...+a_n[L(\vec t_1)]_T\)
这事实上就是\(M\)的列的张成。就是\(Col(M)\)
而且考虑线性变换\(L\)定义在\(S\to T\)上，\(P\)定义在\(T\to M\)上，\({}_{M}[L\circ P]_S={}_{M}[P]_T{}_{T}[L]_S\)
接下来考虑坐标变换。假设我们知道\(\vec x\)在基\(B\)的坐标\([\vec x]_B\)，我们想要知道\(\vec x\)在基\(C\)上的坐标。
（\(B\)与\(C\)的大小相等），且\(Span(B)=Span(C)\)
可以把\([\vec x]_B=g\)乘以一个变换矩阵\(M={}_{C}I_B\)，这个矩阵只和\(B\)与\(C\)有关。\({}_{C}I_B[\vec x]_B=[\vec x]_C\)
考虑如何得到\(M\)。考虑\(S\)的一组基\(\vec s_1...\vec s_n\)，\(\vec x=g_1\vec s_1+...+g_n\vec s_n\)
设\([\vec s_i]_C=t_i\)，\([\vec x]_C=[g_1\vec s_1]_C+...+[g_n\vec s_n]_C\)
\(=g_1t_1+...+g_nt_n\)
所以\(M=[[\vec s_1]_C...[\vec s_n]_C]\)。
变换矩阵有如下性质：
1.\({}_{B}I_C{}_{C}I_B=I\)
2.1.\({}_{D}I_C{}_{C}[L]_B{}_{B}I_E={}_{D}[L]_E\)
可以使用矩阵相等定理证明。
考虑两个线性空间\(S\to T\)在某线性变换\(L\)下的相似性。
定义满射：\(Range(L)=T\)
单射：如果\(L(\vec v1)=L(\vec v2)\)，那么\(\vec v1=\vec v2\)
1.：\(L\)是单射当且仅当\(Ker(L)={\vec 0_S}\)
2.：\(L\)是满射当且仅当\(rank(L)=\dim(T)\)
定义\(S,T\)的相似：如果\(L\)是\(S,T\)之间的双射，那么\(S\)相似于\(T\)，记作\(S\simeq T\)。

第四部分：内积
在此部分我们拓展内积。
定义内积操作\(<\vec x,\vec y>\)满足如下4条性质：
1.\(<\vec x,\vec y>\)和\(<\vec x,\vec y>\)互为共轭
2.\(<\alpha \vec x,\vec y>=\alpha <\vec x,\vec y>\)
3.\(<\vec x+\vec z,\vec y>=<\vec x,\vec y>+<\vec z,\vec y>\)
4.\(<\vec x,\vec x> \geq 0\)，\(<\vec x,\vec x>=0\)当且仅当\(\vec x=0\)