第四章-朴素贝叶斯朴素吗？
你觉得朴素贝叶斯朴素吗？ 个人觉得，一点也不朴素，如同“平凡出真知”，朴素贝叶斯还是很挺厉害的。如果想要了解朴素贝叶斯，那么需要先了解贝叶斯估计和极大似然估计。
极大似然估计
对于一个数据集T服从概率分布P，但是P中参数未知，针对极大似然估计，就是将未知参数看作一个定值，从而找未知参数能使得数据集T发生的概率最大。
\[极大似然估计：\\
假设某个数据集T(x_1,x_2,...,x_n)服从正态分布X~N(\mu,\sigma^2),但是某具体参数\theta未知，\\
如何通过极大似然估计得到\hat{\theta}使得随机样本出现的概率最大?\\
求解过程:(1) 正态分布下\mu的极大似然估计是:\\
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\\
(2)损失函数：L(\mu)=\prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}\\
(3)取对数：\ln L(\mu)=-nln(\sqrt{2\pi})\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \\
(4)求导：\frac{\partial \ln L(\mu)}{\partial \mu}=-\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \\
(5)令导数为0：\frac{\partial \ln L(\mu)}{\partial \mu}=0 => \hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \overline{x}
\]
贝叶斯估计
相比较贝叶斯估计，极大似然估计会出现概率为0的情况。
\[假设样本D(x_1,x_2...x_n)是正态分布N(\mu,\sigma^2),其中\sigma^2已知。\\
假设\mu的先验分布是正态分布N(0,\tau^2)，如果每个样本的概率独立且同步分布，那么贝叶斯估计？\\
(1)第一步：假设数据集D的全概率为P(D),那么p(\mu|D) = \frac{P(D|\mu)P(\mu)}{P(D)},\\
其中P(\mu)是服从N(0,\tau^2)分布的先验概率，从而得到L(\mu):
L(\mu)=P(\mu|D)=\frac{P(D|\mu)P(\mu)}{P(D)}\\
=\frac{P(\mu)P(x_1|\mu)P(x_2|\mu)...P(x_n|\mu)}{\int P(\mu,x_1,x_2,...x_n)d\mu},由此看出\int P(\mu,x_1,x_2,...x_n)d\mu是一个常数，可以记作K。\\
= K\frac{1}{\sqrt{2\pi}\tau}e^{-\frac{\mu^2}{2\tau^2}} \prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}} \\
(2) 第二步：取对数。\ln P(\mu|D)=-\frac{\mu^2}{2\tau^2} K + \sum_{i=1}^n(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})\\
(3) 第三步：求导。\frac{\partial ln}{\partial \mu}=-\frac{\mu}{\tau^2} + \sum_{i=1}^n(-\frac{(x_i-\mu)}{\sigma^2})\\
(4)第四步：令导数为0。可得到:\hat{\mu}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n+\frac{\sigma^2}{\tau^2}}\\
由此可以看出，当n \rightarrow \infty,贝叶斯估计概率和极大似然估计概率是差不多的，\\
但是如果n \rightarrow 0,贝叶斯估计不会等于0，相对而言，更加精确些。
\]
朴素贝叶斯法
朴素贝叶斯(Native Bayes)法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。
朴素贝叶斯实际上学习到的是生成数据机制，因此属于生成模型。
朴素贝叶斯法的基本假设是条件独立性。
朴素贝叶斯模型
\[设输入空间\chi \subseteq R^n为n维向量的集合，输出空间维类标记集合Y=(c_1,c_2,..c_K)。\\
输入为特征向量x \in \chi,输出标记y\in Y,P(X,Y)是X和Y的联合概率分布。\\
训练数据集T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_N,y_N)\}。\\
朴素贝叶斯分类时，对给定的输入x,朴素贝叶斯分类器模型如下：\\
y=f(x)=arg max\frac{P(Y=c_K)\prod_jP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_K)}{\sum_K P(Y=c_K)\prod_jP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_K)}
\]
损失函数
朴素贝叶斯法将实例分到后验概率最大的类中，这损失函数正符合0-1损失函数。根据期望风险最小化准则得到后验概率最大化准则：
\[f(x)=arg max_{c_K} P(c_K|X=x)
\]
参数估计就是采用上面刚开始谈到的极大似然估计和贝叶斯估计。
朴素贝叶斯算法
\[输入：训练数据集T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_N,y_N)\}，其中x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},...x_i^{(n)})^T,\\
x_i^{(j)}表示第i个样本的j个特征,x_i^{(j)} \in \{a_{j1},a_{j2}...a_{jS_j}\},\\
a_{jl}是第j个特征可能取得第l个值，j=1,2..n,l=1,2,..S_j,y_i \in \{c_1,c_2,...c_K\}；实例x;
输出：实例x的分类。\\
(1)计算先验概率以及每个条件概率\\
P(Y=c_K)=\frac{\sum_{i=1}^N I(y_i=c_K)}{N},k=1,2,...K \\
P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_K)=\frac{\sum_{i=1}^NI(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_K)}{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_K)},j=1,2...n;l=1,2,..S_j;k=1,2,...K \\
(2) 计算每个标签下的实例的概率 \\
P(Y=c_K)\prod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_K),k=1,2...K \\
(3)确定的实例x的类。\\
y=arg max_{c_K} P(Y=c_K)\prod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_K)
\]
在朴素贝叶斯估计中，条件概率的贝叶斯估计是：
\[P_{\lambda}(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_K)=\frac{\sum_{i=1}^NI(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_K)+\lambda}{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_K)+S_j\lambda} \\
当\lambda \geq 0,等价于在随机变量上各个取值的频数上赋予一个正数\lambda。\\
当\lambda=0，贝叶斯估计等于极大似然估计。常取\lambda=1,这时称为拉普拉斯平滑(Laplace Smoothing)。此时有:\\
P_{\lambda}(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_K) > 0 \\
\sum_{l=1}^{S_j} P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_K) = 1P_{\lambda}(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_K)=\frac{\sum_{i=1}^NI(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_K)+\lambda}{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_K)+S_j\lambda} \\
当\lambda \geq 0,等价于在随机变量上各个取值的频数上赋予一个正数\lambda。\\
当\lambda=0，贝叶斯估计等于极大似然估计。常取\lambda=1,这时称为拉普拉斯平滑(Laplace Smoothing)。此时有:\\
P_{\lambda}(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_K) > 0 \\
\sum_{l=1}^{S_j} P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_K) = 1
\]
先验概率的贝叶斯估计是：
\[P_{\lambda}(Y=c_K) = \frac{\sum_{i=1}^N I(y_i=c_K)+\lambda}{N+K\lambda},k=1,2,3...K,l=1,2,3...S_j
\]
小结
朴素贝叶斯是在条件独立性的基础上的，由于这一假设，模型包含的条件概率的数量大大减少，朴素贝叶斯法的学习与预测大为简化。因此朴素贝叶斯法高效，且易于实现，缺点就是分类的性能不一定很高。
