浅谈LIS

连续上升子序列（LIS）

定义

$\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{中}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{不}\mathrm{减}\mathrm{的}\mathrm{子}\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{或}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{增}\mathrm{的}\mathrm{子}\mathrm{序}\mathrm{列}（\mathrm{看}\mathrm{题}\mathrm{决}\mathrm{定}，\mathrm{做}\mathrm{法}\mathrm{几}\mathrm{乎}\mathrm{一}\mathrm{致}），\mathrm{下}\mathrm{文}\mathrm{以}\mathrm{严}\mathrm{格}\mathrm{上}\mathrm{升}\mathrm{子}\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{为}\mathrm{例}$

做法一

$\mathrm{暴}\mathrm{力}dp,\mathrm{设}{f}_i\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{以}i\mathrm{结}\mathrm{尾}\mathrm{的}LIS\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{长}\mathrm{长}\mathrm{度},f_i=max(f_j|j<i,a_j<a_i)+1。$
$dp\mathrm{比}\mathrm{较}\mathrm{好}\mathrm{理}\mathrm{解},\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{由}\mathrm{上}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{比}\mathrm{当}\mathrm{前}\mathrm{小}\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{加}\mathrm{上}\mathrm{当}\mathrm{前}\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{组}\mathrm{成}\mathrm{最}\mathrm{长}\mathrm{上}\mathrm{升}\mathrm{子}\mathrm{序}\mathrm{列}$
$\mathrm{复}\mathrm{杂}\mathrm{度}\mathrm{显}\mathrm{然}\mathrm{是}O(n^2)\mathrm{的}$

做法二

$\mathrm{考}\mathrm{虑}\mathrm{去}\mathrm{优}\mathrm{化}\mathrm{上}\mathrm{述}\mathrm{转}\mathrm{移}\mathrm{方}\mathrm{程}，\mathrm{发}\mathrm{现}{f}_i\mathrm{是}\mathrm{由}1\sim i-1\mathrm{转}\mathrm{移}\mathrm{来}\mathrm{的}，\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{用}\mathrm{树}\mathrm{状}\mathrm{数}\mathrm{组}\mathrm{优}\mathrm{化}。$
$\mathrm{每}\mathrm{次}\mathrm{求}\mathrm{完}{f}_i\mathrm{对}{a}_i\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{单}\mathrm{点}\mathrm{加}，\mathrm{求}{f}_i\mathrm{时}\mathrm{查}1\sim a_i-1\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}$
$a_i\mathrm{比}\mathrm{较}\mathrm{大}\mathrm{时}\mathrm{记}\mathrm{得}\mathrm{离}\mathrm{散}\mathrm{化}$

$\mathrm{复}\mathrm{杂}\mathrm{度}\mathrm{降}\mathrm{为}O(nlogn)$