AGC008F 题解

设 $f(u, d)$ 表示以 $u$ 为中心距离不超过 $d$ 的点集

考虑对每个点分别统计答案，令当前处理的点 $u$ 是当前树根

令 $mx(u)$ 为 $u$ 所有子树中，与 $u$ 最远距离最
大值，

令 $se(u)$ 为 $u$ 所有子树中，与 $u$ 最远距离的次大值，

我们只在 $d$ 最小的时候计数，而且不计算全集
先考虑所有点都是关键点的情况
翻译一下两个条件，是

1. $d < mx(u)$
2. 不存在 $u$ 的儿子 $v$，使得 $f(v, d - 1) = f(u, d)$

为什么条件 $2$ 可以满足 $d$ 最小的要求？

首先考虑简单情况，如果 对儿子 $v$, $f(v, d - 1) \neq f(u, d)$，则子树外没有填满，或者子树内没有填满，所以有 $f(v, d - 2) \neq f(u, d)$

然后我们考虑其它结点 $w$，在 $u$ 的儿子 $v$ 的子树内

考虑使用反证法， 反正它是对的

假设 $f(v, d - 1) \neq f(u, d)$ 但是 $f(u, d) = f(w, k) (k < d)$

由于在 $v$ 子树内延伸方向不一样，$f(u, d) = f(w, k)$ 一定能填满 $v$ 子树，

由于$f(v, d - 1)\neq f(u, d)$ 所以 $v$ 子树外没有填满，所以 $f(u, d) \neq f(w, k)$

现在处理条件 $2$

可以发现 $f(v, d - 1) = f(u, d)$ 只在 $f(v, d - 1)$ 填满了 $v$ 之外所有子树的时候发生

同时我们要求了条件 $1$，所以 $v$ 只能具有离 $x$ 最远距离的儿子

在 $v$ 子树外，一个点被 $f(u, d )$ 访问到的充要条件是被 $f(v, d - 2)$ 访问到

所以 $d - 2 \leq se(u)$

对一个关键点， $d \leq se(u) + 2, d \leq mx(u) - 1$

我们再考虑一个非关键点 $x$ 的贡献，

观察得到 $f(x, d)$ 是一个 关键点 $v$ 的覆盖，并且 $d$ 最小，

则有 $u$ 完全覆盖 $v$ 所处的子树中

于是我们记 $k$ 为到此点的关键点子树的最大深度的最小值（若此点为关键点则 $k = 0$ ）。

则 $d \geq k$