省选联测41

夹克姥爷win了win了

首先Alice 有 \(C_n^k\)个集合， Bob有 \(A_n^{k - 1}\) 个排列
建立二分图，左部点有 \(C_n^k\) 个，右部点有 \(A_n^{k - 1}\)个
当 \(C_n^k >A_n^{k - 1}\)时候显然非法

证明 \(n \leq k! + k - 1\) 时候合法

每个排列需要有 \(n - k + 1\) 种对应可能，所以有 不多于 \(k!\) 条边

左侧每个集合能向右连 \(A_k^{k - 1}\) 条边，也就是 \(k!\) 条边

考虑Hall定理

从左边选择 \(x\) 个点，左边共有 \(x * k!\) 条边 ，右侧有 \(y\) 个点，共有最多 \(y * k!\)条边，所以 \(y \geq x\) ，成立