容斥原理 & 莫比乌斯反演

to be fix :
“扩展”部分的式子是假的
二维子集反演
莫比乌斯反演

容斥原理 & 莫比乌斯反演

一、函数卷积：

定义函数卷积

\(f(x, y)\) 和 \(g(x, y)\) 是 \(X \times X \rightarrow \mathbb{R}\) 的函数

\[f \ast g = \begin{cases} \sum_{x \leq z \leq y}{f(x, z)g(z, y)} & x \leq y\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases} \]

定义克罗内克函数

$\delta(x, y) = [x = y] $

此函数是卷积的单位元

定义 \(\zeta\) 函数

\(\zeta = [x \leq y]\)

\(\zeta\) 函数是偏序集的一种表示，包含了偏序集的信息

我们可以证明卷积的结合律

二、逆函数

设 \(f(x, y)\) 是 \(X \times X \rightarrow \mathbb{R}\) 的函数

其中 \(f(y, y) \neq 0\)

我们构造 \(g(x, y)\) 同时也是 \(X \times X \rightarrow \mathbb{R}\) 为其逆函数。

由于卷积满足结合律，所以 只需要证明 \(g \ast f = \delta\)

证明 \(g\) 是右逆函数：

设 \(f\) 的右逆函数为 \(h\)

\(g = g \ast \delta = g \ast (f \ast h) = (g \ast f) \ast h = h\)

考虑构造 \(g(x, y)\)

我们的目标是 \(\sum_{x \leq z \leq y} {g(x, z) \ast f(z, y) } = \delta(x, y)\)

首先考虑 设 \(x = y\)

\(\mathbf{LHS} = g(x,x) \ast f(x, x)\)

\(\mathbf{RHS} = \delta(x, x) = 1\)

所以 $g(x, x) = \frac{1}{f(x, x)} $

令 $g(x, y) = -\frac{1}{f(y, y)}\sum_{x \leq z < y}{g(x, z) \ast f(z, y)} $

解释一下，这一项

\(g(x, y) \ast f(y, l) = sum_{x \leq z < y}{g(x, z) \ast f(z, y)}\)

刚好是前面所有项的相反数，所以

\(\mathbf{LHS} = 0\)

\(\mathbf{RHS} = 0\)

三、莫比乌斯函数

定义 \(\mu\) 为 \(\zeta\) 的逆函数

我们使用上面的逆函数求法，得到

\(\sum_{x \leq z \leq y}{\mu(x, z) \zeta(z, y)} = \delta(x, y)\)

得到

\(\sum_{x \leq z \leq y}{\mu(x, z)} = \delta(x, y)\)

于是

\[\mu(x, y) = \begin{cases} 1 & x = y\\ -\sum_{x \leq z < y}{\mu(x, z)} & x < y \\ \end{cases} \]

四、应用

1.子集反演

我们计算 \(\subseteq\) 的莫比乌斯函数

考虑归纳假设 $\mu(A, B) = (-1)^{|B|-|A|} $

$p = |B| - |A|,k = |C| - |A| $

\[\mu(A, B) = -\sum_{A \subseteq C \subsetneq B}{\mu(A, C)} \\ = -\sum_{A \subseteq C \subsetneq B}{(-1)^{|C|-|A|}} \\ = -\sum_{k = 0}^{p - 1}{(-1)^{k}\binom{p}{k}} \\ = -(-1)^{k}\binom{p}{p} = (-1)^{p} = (-1)^{|B|-|A|} \\ \]

2. 一般的反演

存在极小元的偏序集中，可以看做函数的第一个参数是极小元

$ F(x) = \sum_{z \leq x}{G(z)} $

$ G(x) = \sum_{y \leq x}{F(y) \mu(y, x)} $

证明 由于该偏序集存在极小元，所以整个偏序关系构成一个树

由下式可得

\[\sum_{y \leq x} {F(y) \mu(y, x)} = \\ =\sum_{y \leq x} {\mu(y, x)} \sum_{z \leq y} {G(z)} \\ =\sum_{z \in X} \sum_{y \leq x}{\mu(y, x)\zeta(z, y)G(z)} \\ =\sum_{z \in X}{G(z)} \sum_{y \leq x}{\zeta(z, y)\mu(y, x)} \\ =\sum_{z \in X}{G(z)} \sum_{z \leq y \leq x}{\zeta(z, y)\mu(y, x)}\\ =\sum_{z \in X}{G(z)} \delta(z, x) \\ =G(z) \]

我们发现莫比乌斯反演的功能不够强大，只能处理系数为 \(1\) 的情况，如果处理其它反演的时候，需要对其简单扩展

3.莫比乌斯反演

略

五、扩展

一般情况下，我们有

$ F(x) = \sum_{y \leq x}{a(y, x)G(y)} $

$ G(x) = \sum_{y \leq x}{b(y, x)F(y)} $

希望得出 \(a\) 与 \(b\) 的关系

\[\sum_{y \leq x}{b(y, x)F(y)} \\ = \sum_{y \leq x}\sum_{z \leq y} a(z, y)G(z) \\ = \sum_{z \in X} \sum_{y \leq x} \zeta(z, y) a(z, y) b(y, x) \\ = \sum_{z \in X} \sum_{z \leq y \leq x} \zeta(z, y) a(z, y) b(y, x) \]

可得

\(\zeta(z, y) \ast a(z, y) \ast b(y, x) = \delta(z, x)\)

\(\zeta \ast a \ast b = \delta\)

\(a \ast b = \mu\)

六、再应用

1. $\leq $ 偏序关系

由上式可得

\(\sum_{x \leq y \leq z}{a(x, y)b(y, z)} = \delta(x, z)\)

2. 二项式反演

\[f(x) = \sum_{y = 0}^{x}{\binom{x}{y} *g(y)} \\ g(x) = \sum_{y = 0}^{x}{(-1) ^{x - y}\binom{x}{y} * f(y)} \]

\[a(x, y) = \binom{x}{y} \\ b(x, y) = (-1)^{x - y} \binom{x}{y} \]

\[\sum_{j = k}^{i}{a(i, j) * b(j, k)} = \\ \sum_{j = k}^{i}{\binom{i}{j} \binom{j}{k} (-1) ^{j - k}}=\\ \sum_{j = k}^{i}{\binom{i}{j} \binom{j}{k} (-1) ^ {j + k}}=\\ \delta_{i, j} \]