正向思维理解后缀自动机

大部分网上对SAM 的讲解逻辑很混乱，让我对 SAM 只能知其然，而不知其所以然，所以在这里理清了 SAM 的逻辑链

前置知识 ： DFA#

建议对 SAM 有个基本概念再来看此文
注意：有什么没写明的符号，在参考文献1里面已经说明

后缀自动机的定义#

后缀自动机（SAM）就是接受一个字符串所有后缀的最小DFA。
但是这个定义过于迷惑，我们考虑换一种等价定义：
SAM是以 $endpos$ 等价类为状态的，接受所有后缀的DFA。
（$endpos$ 将在下文说明）
证明定义的等价性：

• 可以构造出一个以 $endpos$ 等价类为状态的，接受所有后缀的DFA
• 这个DFA是最小的 （此处证明较为复杂，略去）

这个定义修改是关键的，之后的一切操作、性质都以新定义位出发点

后缀自动机的性质#

• 是证明边 $O(n)$ 的前置知识
  建议理解 $endpos$ 等价类后再来理解这里

在下文讲解中，我们默认"路径”是指从源点（起始状态）出发的路径

• 性质1
  每条终点为接受状态的路径均代表一个后缀
• 性质2
  每条路径均代表一个子串
• 性质3
  不同路径代表的子串是本质不同的

后缀自动机的理论基础#

$endpos$ 及其等价类的性质#

$endpos(str)$ 是一个从字符串子串到一个集合的映射
它表明一个子串在字符串中每次出现的结束位置
$endpos$ 等价类是所有 $endpos$ 相同的子串
具体地，对aabab这个字符串的子串ab来说
$endpos("ab") = \{3, 5\}$
（在本文中，我们默认字符串首字母的下标是1）
下面的性质讲不给出证明，请见互联网

• 性质1
  如果两个子串的 $endpos$ 相同，一个字符串是另一个的后缀
• 性质2
  两个子串的 $endpos$ 只有相交或包含关系
• 性质3
  一个 $endpos$ 等价类里面所有子串长度连续
• 性质4
  $endpos$ 等价类的个数 $O(n)$
• 性质5
  $endpos$ 等价类中的所有子串同时在末尾添加一个字母得到的子串，均为同一个等价类

其中，
性质1、2为性质3提供证明
性质2 暗示我们，所有 $endpos$ 等价类可以构成一棵树， 我们把这棵树叫做 parent_tree
性质4 证明了 SAM 的状态数为 $O(n)$
性质5 解释了 SAM 的转移，告诉我们 SAM 是存在的

后缀自动机的状态数 $O(n)$#

性质4 上文已经给出证明

后缀自动机的转移数 $O(n)$#

我们考虑 SAM 的一颗生成树
从每一个 SAM 的接受状态(代表了至少一个后缀)出发，按照后缀转移路径的相反顺序，去向源点反向转移，在反向转移中我们需要添加一些非树边，我们只要证明非树边的条数 $O(n)$ 即可
其它子串是后缀的前缀，只要后缀满足路径可行，其它子串也满足路径可行
为了证明这个结论，我们可以证明对每一个后缀，我们只需要均摊添加不超过一个边即可
换句话说，我们可以证明每连一条边，必然能够反向转移一个新的后缀
需要连接 $\leq 1$条边的后缀是显然的，我们只考虑这样一个后缀，它需要连接 $>1$条边，我们先任意的连其路径上的一条边，然后不管它，去沿着到源点的路径反向转移
在连接一条新边后，因为这是一颗生成树，所以其到源点的路径一定是联通的，并且这条路径包含一个新边，所以其一定代表这一个新的后缀，我们证明了每连一条边，必然能够反向转移一个新的后缀

后缀自动机的构造#

因为每个字符串前缀的 $endpos$ 必然不相等，而且能从较短前缀转移到较长前缀，所以我们可以把 SAM 中代表前缀的若干个状态提出来，叫做前缀链
这样就把 SAM 分成两部分，前缀链和其它
我们每次在字符串结尾添加一个字符，维护 SAM ，最终即可做到 SAM 的构造
我们在添加一个字符之后，有一些字符串的 $endpos$ 改变了，即状态的含义改变了，还有一些字符串的转移的 $endpos$改变了，即转移后的新状态的含义改变了， 我们必须重新进行维护 parent_tree（即fa数组） 和 SAM
设新字符为 $c$ ，新串长度为 $n$
哪些字符串的 $endpos$ 改变了？
只有原来 后缀+ "$c$" 字符串的 $endpos$改变了， 即比原先多了一个 $n$
现在就有一个很自然地（不完善的）思路，
我们从沿着 $last$向上跳到空状态，不难发现整条链都是原串后缀，我们将这条链称之为后缀链
我们就向上遍历后缀链，然后考察这个状态是否有 $c$ 的转移，如果没有 $c$的转移，这就说明这个 该状态的字符串 + $c$ 在旧串中是不存在的，不过现在随着新结点的加入而存在，我们可以直接连到新结点上
如果有$c$的转移，就说明这个字符串 +$c$在旧串中是存在的，那么它的后缀一定也有$c$的转移。
从而，我们现在就可以将新结点的$fa$设成第一个有$c$转移的状态的的$c$转移，这表明以新结点为叶子的链构成了一个新的后缀链。换句话说，新结点的$fa$是旧串中为新串后缀的最长子串。
我们到这里便找到了新结点的$fa$
但是，这个思路是错误的，在“从而”后面，我们少讨论了一种情况，旧串后缀 + $c$作为其它串的后缀了，且它们$endpos$相同，这个时候只有旧串后缀 + $c$的 $endpos$包含 $n$, 而其它串不含$n$，我们不得不把这个状态分裂，并且重新调整$fa$和转移
具体的$aaba$ + $b$
"$a$"是旧串一个后缀，"$a$"+"$b$"，是新串的一个后缀，$endpos("aab") = \{ 3\}$ $endpos("ab") =\{3, 5\}$
所以此时$"aab"$与$"ab"$在一个状态里，我们只能将其分裂来保证 SAM的正确性
详细构造请见互联网

参考文献
https://www.luogu.com.cn/blog/Kesdiael3/hou-zhui-zi-dong-ji-yang-xie
https://oi-wiki.org//string/sam/#link