中国剩余定理 CRT

网上只说了CRT的证明过程，但我这样的蒟蒻全程只是跟着题解思路跑，但是没理解这个证明过程是怎么想到的,最近想了一下,这样CRT的推导就比较自然了
一般形式:

$$\begin{cases} & {x_{1} \equiv a_{1} \text {mod} m_{1} } \\ & {x_{2} \equiv a_{2} \text {mod} m_{2} } \\ &...\\ & x_{n} \equiv a_{n} \text {mod} m_{n} \end{cases}$$

第一步：构造一个特殊解
为了简单，我们假设最终的解由满足对应方程的解的几个部分组成
设 $y_1$ $y_2$ ... $y_n$ 分别满足对应的方程组
由一眼看穿法可得
那么为了保证加起来之后的模数不改变，$y_i$ 以外的部分对第 $i$ 个方程组的贡献为 $0$
即 $y_j(j \neq i) \equiv 0 (\text{mod }m_i)$
根据同余和整除的转化
所有的 $y_j$ 均为 $m_i$ 的倍数
这时候一个很明显的idea就来了:
$a_i$ 显然是第 $i$个方程组的一个解
为了让 $a_i$ 满足是其它模数的倍数
将 $a_i$ 乘以$m_j(j \neq i)$
但是这样又会出来一个问题:现在$a_i \times m_j$不一定满足第 $i$个方程了
那么整出来一个逆元即可，
$y_i = {a_i} \times {m_j} \times {m_j^-1}(\text{mod } m_i)$
最后的解就是所有的$y_i$之和了

严谨证明见百度百科

第二步:构造一个通解，顺便证明这就是通解
充分性:存在解，则为这种形式
假设$x_1$ $x_2$均满足上述方程组
则$x_1$ $x_2$在模上述数时同余，即在$m_i$ 整除$x1-x2$
则根据同余定理5:
若$a \equiv b (mod m)$, $a \equiv b (mod n)$ 则
$a \equiv b (mod lcm(m,n))$
设$M$为$m_i$之乘积
由于任意模数互质，所以$x1 \equiv x2 (mod M)$
所以$x = kM+x0$
必要性:若为这种形式，则为解
$kM$对每个方程组的贡献为$0$，必要性显然
推论:在$(mod M)$意义下只有一个唯一解