数据结构 树

 

树

　　树是一种非线性的数据结构，是n（n>=0)个结点的有限集。

（1）在任意一棵树中，有且仅有一个特定的根节点。如图点A

（2）节点拥有的子树数称为结点的度。图中A的度为3，C的度为1

（3）度为0的结点称为叶子或终端结点。如图KLM点

（4）度不为0的结点称为非终端结点或者分支结点。如图A B C...

（5）数的度是树内各结点的度的最大值，如图树的度是3

（6）节点的子树的根称为该结点的孩子，左侧的为左孩子，右侧的为右孩子。

　　 相应的，该结点称为孩子的双亲

（7）树中结点的最大层次称为树的深度或高度。图所示的树的深度为4

（8）将树中结点的各子树看成从左到右是有次序（即左孩子不能和右孩子互换）

　　 则称该树为有序树，否则为无序树。

（9）森林是m（m>=0)棵互不相交的树的集合

 

二叉树

 　　二叉树是一种特殊的树形结构，它的每个结点至多只有两颗子树，即二叉树中不存在度大于2的结点，

 并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

（1）一棵深度为k且有2^k - 1 个结点的二叉树称为 满二叉树，如图a

（2）深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的

　　 满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为 完全二叉树。如图b

（3）二叉树的第i层上至多只有2^i-1 个结点（i>=1)

（4）深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>=1）

 

二叉树的存储结构

1.顺序存储结构

　　用一组地址连续的存储单元一次自上而下，自左而右存储完全二叉树的结点元素，注意这种存储结构仅适用于完全二叉树，“0”表示不存在此结点

2.链式存储结构

　　非连续的存储结构，利用指针域把各节点连接构成链式，分别有二叉链表（数据域和指向左右子树的指针构成，下图b）和三叉链表法（数据域、指向双亲结点的指针和指向左右子树的指针构成，下图c）。

         

 

 二叉树的遍历

先序遍历

　　若二叉树为空，则空操作，否则

　　（1）访问根节点

　　（2）先序遍历左子树　　　　先序遍历：- * a b c

　　（3）先序遍历右子树

中序遍历

 　　若二叉树为空，则空操作，否则

　　（1）中序遍历左子树

　　（2）访问根节点　　　　　　中序遍历：a * b - c

　　（3）中序遍历右子树

后序遍历

　　若二叉树为空，则空操作，否则

　　（1）后序遍历左子树

　　（2）后序遍历右子树　　　　后序遍历：a b * c -

　　（3）访问根节点

 

线索二叉树

　　以二叉链表作为存储结构时，只能找到节点的左、右孩子的信息(因为结点只有两个指向左右孩子的指针），而不能直接得到节点在任一序列中的前驱和后继信息（如后序遍历为a b * c -，那么b 的前驱为a，后继为* ），那么可以在二叉链表的基础上，在结点中增加两个指针域，分别指示结点在任一次序遍历时得到的前驱和后继信息。

 

其中

　　LTag = 0 时  lchild 域指示结点的左孩子

　　LTag = 1 时  lchild 域指示结点的前驱

　　RTag = 0 时  rchild域指示结点的右孩子

　　RTag = 1 时 rchild 域指示结点的后继

这样的存储结构叫做线索二叉树，其中指向结点前驱和后继的指针，叫做线索。

 

上图 中序遍历：a + b * c - d - e / f

线索链表存储结构的优点：算法小，不需要设栈。如果在某程序中所用的二叉树需要经常遍历或者查找结点在遍历所得结构中的前驱和后继，则应采用线索链表作为存储结构。

 

最优二叉树（哈夫曼树）

　　最优二叉树，也叫哈夫曼树，又称最优树，是一类带权路径长度最短的树。

（1）从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径，路径上的分支数目称作路径长度。树的路径长度是从树根到每一个结点的路径的长度和

（2）带权路径长度最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫曼树。

 

 

构造哈夫曼树（哈夫曼算法的思想）：

 

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，则哈夫曼树的构造规则为：

(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；

(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；

(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；

(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

 

               

 

哈夫曼编码

（1）先构造最优二叉树

（2）按照左0右1进行编号 ，如右上图    

 

二叉树的实现：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef    char ElemType;     //数据类型
typedef    int Status;         //返回值类型
#define ERROR 0
#define OK 1
//定义二叉树结构
typedef struct BiTNode{
    ElemType    data;                    //数据
    struct BiTNode    *lChild, *rChlid;    //左右子树指针
}BiTNode, *BiTree;

//创建二叉树
Status CreateBiTree(BiTree *T)
{
    ElemType ch;
    ElemType c;
    scanf("%c", &ch);
    c = getchar();
    if (' ' == ch)
        *T = NULL;
    else
    {
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        if (!(*T))
            exit(ERROR);
        (*T)->data = ch;
        printf("输入%c的左孩子结点，空格表示无此结点：", ch);
        CreateBiTree(&(*T)->lChild);
        printf("输入%c的右孩子结点，空格表示无此结点：", ch);
        CreateBiTree(&(*T)->rChlid);
    }

    return OK;
}

//先序遍历二叉树
Status TraverseBiTree(BiTree T)
{
    if (!T) return ERROR;
    printf("%c ", T->data);
    TraverseBiTree(T->lChild);
    TraverseBiTree(T->rChlid);
    return OK;
}

//中序遍历二叉树
Status InOrderBiTree(BiTree T)
{
    if (!T) return ERROR;
    InOrderBiTree(T->lChild);
    printf("%c ", T->data);
    InOrderBiTree(T->rChlid);
    return OK;
}

//后序遍历二叉树
Status PostOrderBiTree(BiTree T)
{
    if (NULL == T) return ERROR;
    PostOrderBiTree(T->lChild);
    PostOrderBiTree(T->rChlid);
    printf("%c ", T->data);
    return OK;
}


//二叉树的深度
int TreeDeep(BiTree T)
{
    int deep = 0;
    if (T)
    {
        int leftdeep = TreeDeep(T->lChild);
        int rightdeep = TreeDeep(T->rChlid);
        deep = leftdeep >= rightdeep ? leftdeep + 1 : rightdeep + 1;
    }
    return deep;
}

//二叉树叶子结点个数

//主函数
int main(void)
{
    BiTree T;
    int str, num = 0;
    printf("输入第一个结点的值,空格表示没有叶结点:\n");
    CreateBiTree(&T);
    printf("先序遍历二叉树:\n");
    TraverseBiTree(T);
    printf("\n");
    printf("中序遍历二叉树:\n");
    InOrderBiTree(T);
    printf("\n");
    printf("后序遍历二叉树:\n");
    PostOrderBiTree(T);
    printf("\n");
    str = TreeDeep(T);
    printf("树的深度为:%d", str);
    printf("\n");
    system("pause");
    return 0;
}