【CCPC2020网络赛02】Graph Theory Class

原题：

题意：

给你一个n个结点的完全图，结点从1~n标号，结点i和j之间的边权为lcm(i+1,j+1)，问你这个图的最小生成树的边权和是多少

 

为方便讨论，现在给所有结点的标号都+1，于是标号范围变为2~n+1，结点i和j之间的边权变为lcm(i,j)

性质1：

lcm(i,j)>=i且lcm(i,j)>=j

先考虑一个特殊情况，如果i是质数

此时情况有2种，要么i|j，那么lcm(i,j)=j，否则lcm(i,j)=i*j

显然i*j也是i的倍数，因此只需要让i和一个最小的数连就行了，最小就是2

一般情况，如果i是合数，那么由于lcm(i,j)>=i，因此反正怎么选都不可能小于i，直接让i跟一个因子连就行了

这样怎么能保证连出来是一个树呢

性质2，一种构造树的方法：

让每个结点i都跟标号小于i的某点连边，这样可以归纳地证明连出来是一个树

2肯定比除了2的质数小，合数的因子肯定比它自己小，因此上面的连法保证得到一个树

于是对于质数，和2连边，lcm=2*i，对于合数，和一个因子连，lcm=i

最后的总边权等于(2+n+1)*n/2+∑p-2-2，∑p是小于n+1的所有质数的和，-2-2是因为2不会和自己连

用min25筛出质数和即可

求质数和我还不会，问了队友（清欢）直接就知道可做，然后写完就A了盒盒

 

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