【洛谷1357】花园

原题：

 

 n<=1e15

 

首先要看清题，花圃是环形的而不是线形的

但是不妨先思考如果是线形该如何处理

如果n<=1e5做法很显然，f[i][j]表示直到第i个点状态为j的方案数，其中j是二进制压状态

然后可以发现转移都是f[i][j]+=f[i-1][k]的形式

自然想到矩阵乘方法

在转移矩阵A中，如果存在状态k能转移到状态j，那么a[k][j]为1否则为0

设矩阵乘的格式为AB=C，A是m阶转移方阵，B和C是m阶列向量

这样右侧列向量中b[j][1]就会乘上a[k][j]（等于1），然后被加到c[k][1]上

如果a[k][j]为0则b[j][1]就不会被转移到c[k][1]上，等价于f[i-1][j]不会转移到f[i][k]

虽然矩阵乘没有交换律，但是只要每次把转移矩阵乘在最左边即可

即AB=C变成AAB=A^2B=AC，这样就能转移任意次

最后考虑怎么把线形情况扩展到环形情况

首先可以快速幂出n-m次转移的转移矩阵，然后枚举前m个物品

然后对每个枚举到的状态t，先令列向量b[t][1]=1，然后乘上转移矩阵得到答案向量C

从C向量里挑出不会和状态t冲突的后m个物品的状态，累计答案

 

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define LL long long
const int mo=1000000007;
int m,o;  LL n;
struct mtx{
    LL a[32][32];
    mtx(){
        for(int i=0;i<32;++i)for(int j=0;j<32;++j)
            a[i][j]=0;
    }
    mtx(int x){
        for(int i=0;i<32;++i)for(int j=0;j<32;++j)
            a[i][j]=0;
        for(int i=0;i<32;++i)
            a[i][i]=1;
    }
    mtx operator*(mtx y){
        mtx z;
        for(int i=0;i<32;++i)for(int j=0;j<32;++j)
            for(int k=0;k<32;++k)
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+a[i][k]*y.a[k][j])%mo;
        return z;
    }
    void ot(){
        for(int i=0;i<(1<<m);++i){
            for(int j=0;j<(1<<m);++j)
                printf("%lld ",a[i][j]);
            printf("\n");
        }
        cout<<endl;
    }
}a;
mtx qcp(mtx x,LL y){
    mtx z=x,bwl(1);
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1)  bwl=z*bwl;
        z=z*z;
    }
    return bwl;
}
bool chck(int x){
    int bwl=0;
    for(;x;x>>=1)  bwl+=(x&1);
    return bwl<=o;
}
bool chck2(int x,int y){
    for(;x;x>>=1){
        y>>=1;
        if(x&1)  y|=(1<<(m-1));
        if(!chck(y))  return false;
    }
    return true;
}
int main(){
    cin>>n>>m>>o;
    for(int i=0;i<(1<<m);++i)if(chck(i)){
        a.a[i>>1][i]=1;
        if(chck(i>>1|(1<<(m-1))))
            a.a[i>>1|(1<<(m-1))][i]=1;
    }
    mtx tmp=qcp(a,n-m);
    LL bwl=0;
    for(int i=0;i<(1<<m);++i)if(chck(i)){
        mtx ans;
        ans.a[i][0]=1;
        ans=tmp*ans;
        for(int j=0;j<(1<<m);++j)if(chck2(i,j))
            bwl=(bwl+ans.a[j][0])%mo;
    }
    cout<<bwl;
    /*
    mtx tmp=qcp(a,n-1);
    mtx ans;
    ans.a[0][0]=1,ans.a[1<<(m-1)][0]=1;
    ans=tmp*ans;
    LL bwl=0;
    for(int i=0;i<(1<<m);++i)  bwl=(bwl+ans.a[i][0])%mo;
    cout<<bwl<<endl;
    */
    return 0;
}