【HAOI2008】圆上的整点

原题：

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

r<=2000 000 000

 

看题解学数论

首先柿子变形一下

x=√(r-y)(r+y)

令d=gcd(r-y,r+y)

令A=(r-y)/d，B=(r+y)/d

那么x^2=d^2*A*B

由于A和B没有公因数，它俩乘积还是平方数，那么它们只能分别是平方数了

（因为若A不是平方数，则存在次数是基数的质因子，而B又不能有质因子和它拼，所以假设不成立）

gcd的作用就在这，提出公共因子，使平方数的性质出现

继续变柿子

令a^2=A，b^2=B

a^2+b^2=2*r/d

这是另一个关键点，用A+B消去y，这个只能看数学直觉了

然后枚举2*r的所有因子d，再枚举b，检查a是否和b互质即可

注意b^2只需枚举到b*b*2<j或b*b<n/d

 

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
const double eps=0.0000001;
int rd(){int z=0,mk=1;  char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')mk=-1;  ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){z=(z<<3)+(z<<1)+ch-'0';  ch=getchar();}
    return z*mk;
}
LL gcd(LL x,LL y){  return (y ? gcd(y,x%y) : x);}
LL n;
int ans=0;
int main(){
    cin>>n;  LL _2n=sqrt(2.0*n)+eps;
    if(n==0){
        cout<<1<<endl;
        return 0;
    }
    for(LL i=1;i<=_2n;++i)if(!(2*n%i)){
        for(LL j=1;j*j*2<i;++j){
            LL k=sqrt((i-j*j)*1.0)+eps;
            if(k*k==i-j*j)
                ans+=(gcd(k*k,j*j)==1);
        }
        for(LL j=1;j*j<n/i;++j){
            LL k=sqrt((2*n/i-j*j)*1.0)+eps;
            if(k*k==2*n/i-j*j)
                ans+=(gcd(k*k,j*j)==1);
        }
    }
    cout<<ans*4+4<<endl;
    return 0;
}