【C# 数据结构】哈夫曼树

哈夫曼树

定义

在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度(WPL）最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树
 

 

 

构造哈夫曼树

给定n个权值分别为w1, w2..., wn的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下:
1）将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F。
2）构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左，右（顺序任意）子树，并且将新结点的权值 置为左、右子树上根结点的权值之和。
3）从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。
4)  重复步骤2）和3），直至F中只剩下一棵树为止。

第一种方式

1）在森林中选择权值最小的两个子树组成新的子树：选a(权值为1) 和c(权值为2) 组成一个二叉树 （权值 1+2);

2）新组成的子树（权值为3），将新的子树放入森林中。

3)重复（1）和（2）步骤。

 

 

 第二种方式

 

 

 特点

1）每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大

2）哈夫曼树的结点总数为2n -1
3）哈夫曼树中不存在度为1的结点。
4)哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优

应用

用于编码

有哈夫曼树得到哈夫曼编码――字符集中的每个字符作为一个叶子结点，各个字符出现的频度作为结点的权值，根据之前介绍的方法构造哈夫曼树。路径左边为1，右边为0（顺序随便）

1）固定长度编码――每个字符用相等长度的二进制位表示

2）可变长度编码――允许对不同字符用不等长的二进制位表示，此时的权值表示概率。概率高的离根节点越近。

假设，100题中有80题选c，10题选A，8题选B，2题选D

固定长度编码

 

 

可变长度编码

 

 用于数据压缩