拓展欧几里得算法——C.一日之计在于晨

合集 - ACM的这几年(2)

1.拓展欧几里得算法——C.一日之计在于晨2024-03-28

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广州大学第十八届ACM大学生程序设计竞赛（同步赛）C题

谈到拓展欧几里得算法，就要从欧几里得算法和裴蜀定理说起。

欧几里得算法（辗转相除法）

$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$

其中，当$a=0$时，$gcd(a,b)=gcd(0,b)=b$；$b=0$同理

证明：$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)$

令$a=b+c$, $gcd(a,b)=d$, $gcd(b,c)=e$
主要是证明$d=e$
$a\mathrm{mod}d=0,b\mathrm{mod}d=0,\therefore c\mathrm{mod}d=0,\therefore d\le e$

同理，$e\le d,\therefore d=e$

推广一下，相当于$a$不断减$b$直至$a<b$，也就是直至$a\mathrm{mod}b$

int gcd(int a,int b){
	if(b==0)return a;
	return gcd(b,a%b);
}

参考：
辗转相除法的原理 _辗转相除法求最大公约数的原理是什么？ (shadafang.com)

裴蜀定理（贝祖定理）

设$a,b$是不全为0的整数，对任意整数$x,y$，满足$gcd(a,b)|ax+by$，且存在整数$x,y$，使得$ax+by=gcd(a,b)$

首先证明任意整数$x,y$，满足$gcd(a,b)|ax+by$

令$gcd(a,b)=d,\therefore a=k_{1}d,b=k_{2}d,(k_1,k_2)=1$
$ax+by=k_{1}dx+k_{2}dy=d(k_{1}x+k_{2}y)$
$\therefore gcd(a,b)|ax+by$

再证明存在整数$x,y$，使得$ax+by=gcd(a,b)$

设取整数 $x_0,y_0$ 时，$ax+by$ 有最小正整数$s$，即$a{x}_0+b{y}_0=s$
$\because a{x}_0\mathrm{mod}gcd(a,b)=0$
且 $b{y}_0\mathrm{mod}gcd(a,b)=0$
$\therefore s\mathrm{mod}gcd(a,b)=0$

设$a=qs+r,(0\le r<s)$ ---也就是把$a$表示成一个整数，其中$s$为已知，$q$、$r$为未知数
$\therefore r=a-qs=a-q(a{x}_0+b{y}_0)=a(1-q{x}_0)+b(-q{y}_0)=ax+by$ ---$r$可以表示成 $ax+by$ 的形式
$\because s$ 是 $ax+by$ 的最小正整数
$\therefore r=0$
$\therefore a=qs$ 即 $a\mathrm{mod}s=0$
同理，$b\mathrm{mod}s=0$
$\therefore gcd(a,b)\mathrm{mod}s=0$

$\because s\mathrm{mod}gcd(a,b)=0,gcd(a,b)\mathrm{mod}s=0,\therefore gcd(a,b)=s$

拓展欧几里得算法

拓展欧几里得算法实际上就是求 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组整数解

当$b=0$时，$ax+by=ax=gcd(a,0)=a$
此时，$x=1,y=0$ 就是 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组整数解

当$b\ne 0$时，
由欧几里得算法可知，$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$
由裴蜀定理可知，

$$\begin{array}{r}gcd(a,b)=ax+by\\ gcd(b,a\mathrm{mod}b)=b{x}_1+(a\mathrm{mod}b)y_1\end{array}$$

$\therefore x=y_1,y=x_1-\frac{a}{b}{y}_1$
利用递归，先求出下一层的$x_1,y_1$，以此类推，可以求得特解$(x_0,y_0)$
构造通解

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}k\\ y=y_0-\frac{a}{gcd(a,b)}k\end{array}$$

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
   if(b==0){
   	x=1;y=0;
   	return a;
   }
   int x1,y1,d;
   d=exgcd(b,a%b,x1,y1);
   x=y1;y=x1-a/b*y1;
   return d;
}

求$ax+by=c$的一组整数解

由拓展欧几里得算法可知，我们可以求$ax+by=gcd(a,b)$的一组整数解
那么，如果 $c\mathrm{mod}gcd(a,b)=0$ ，我们只需在等式左右两边同乘$c/gcd(a,b)$ ，就能求得 $ax+by=c$的一组整数解

若$c\mathrm{mod}gcd(a,b)\ne 0$，则无整数解。这个可以有裴蜀定理可知，证明对于不定方程 $ax+by=m$ 其有整数解的充要条件是 $gcd(a,b)|m$ 即可。

例题

广州大学第十八届ACM大学生程序设计竞赛（同步赛）C题

题目

题解

根据指针的转动，可以列出 （只是大致的，未考虑加一/减一）$$t+ax=re+my$$其中，$x$表示顺时针或逆时针转动的次数，$re$ 表示指针最后停的位置，$y$ 表示转动的圈数

移动，$$ax-my=re-t$$
我们就可以根据拓展欧几里得算法求得 $gcd(a,m)$，以及对应的 $(x_0,y_0)$
$re-t$ 是当$re$取最小值时，$gcd(a,m)|re-t$
$\because re$的范围是$[1,m]$，所以 $re=(t-1)\mathrm{\%}d+1$
这样就可以求得特解$x=x\ast (re-t)/d)$（后面还要加mod）
最后再根据通解，求出 $x$ 的最小值。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ios ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int x1,y1,d;
    d=exgcd(b,a%b,x1,y1);
    x=y1;y=x1-a/b*y1;
    return d;

}
void solve(){
    int t,a,m;
    cin>>t>>a>>m;
    int x,y;
    int d=exgcd(a,m,x,y);
    t=(t-1)%d+1-t; //这里就省略了re
    x=((x*t/d)%m+m)%m; //特解
    x=(x%(m/d)+(m/d))%(m/d); //通解
    cout<<min(x,m/d-x)<<endl;
}
signed main()
{
    ios;
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}