10.23

CF660E

长度为 \(0\) 的子序列的答案就是 \(m^n\)。

长度为 \(k\) 的子序列的答案为：

\[m^k \sum_{i=k}^n {i-1 \choose k-1} (m-1)^{i-k} m^{n-i} \]

解释就是：\(m^k\) 为这个子序列的样子的方案数，后面枚举的是这个子序列最后一个元素的位置，组合数是选前面 \(k-1\) 个数的位置。因为不能算重，所以钦定第 \(k\) 个元素是第一次出现的，前面的元素的取值有 \(m-1\) 种，后面的取值可以随便取。

最终答案就是：

\[\sum_{k=1}^n m^k \sum_{i=k}^n {i-1 \choose k-1} (m-1)^{i-k} m^{n-i} \]

化简。

\[\begin{align*} 原式 &= \sum_{i=1}^n m^{n-i} \sum_{k=1}^i {i-1 \choose k-1} m^k (m-1)^{i-k} \\ &= \sum_{t=0}^{n-1} m^{n-(t+1)} \sum_{q=0}^t {t \choose q} m^{q+1} (m-1)^{t-q} \\ &= \sum_{t=0}^{n-1} m^{n-t} \sum_{q=0}^t {t \choose q} m^q (m-1)^{t-q} \\ &= \sum_{t=0}^{n-1} m^{n-t} (2m-1)^t \end{align*} \]

前面的变换其实就是把 \(i-1\) 换成 \(t\)，把 \(k-1\) 换成 \(q\)。

后面其实就是二项式定理。

直接做就好了。