完全背包问题

完全背包是01背包的一个拓展？？？

其实要没有完全背包，01背包我还没有注意到物品只能选一次。。。。

根据闫式分析法，01背包可以划分为两个集合选与不选

而完全背包不可以，那比如你这次选了，下一次又不选了，或者反之那都不行

所以完全背包是分为若干个集合，分别代表着第i个物品选0次，1次，2次...k次

具体的公式推导：

f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w, f[i - 1][j - 2 * v] + 2 * w, f[i - 1][j - 3v] + 3w...)
          如果暴力硬求，再套一层循环会超时，如果想等价变换，就：
          f[i][j - v] = max(f[i - 1][j - v], f[i - 1][j - 2v] + w...) + w
                        因为i - 1要相等所以是f[i][j - v];

 

01背包：f[i][j]=max(f[i-1][j]+f[i-1][j-v]+w)

完全背包：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v]+w)

因为这一点的不同，所以完全背包正序枚举，01背包逆序枚举：

有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10
感谢y总，tqltql！！！
老样子，先上朴素做法：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N][N],v[N],w[N];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(j<v[i])//装不下 
                f[i][j]=f[i-1][j];
            else
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]); 
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0; 
} 

因为装不下和能装下不选的情况是一样的，两者可以合并，二维变一维：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N],v[N],w[N];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); 
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0; 
} 

01和完全不要弄混了啊

01是选和不选的问题，逆序：

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);

完全是选多少的问题，正序：

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
虽然但是合并到一维都是一样的