构造 矩阵 - 牛客网

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来源：牛客网

题目描述
    洋灰是一种建筑材料，常用来筑桥搭建高层建筑，又称，水泥、混凝土。
    WHZ有很多铸造成三角形的洋灰块，他想把这些洋灰三角按照一定的规律放到摆成一排的n个格子里，其中第i个格子放入的洋灰三角数量是前一个格子的k倍再多p个，特殊地，第一个格子里放1个。
    WHZ想知道把这n个格子铺满需要多少洋灰三角。
输入描述:

第一行有3个正整数n，k，p。

输出描述:

输出一行，一个正整数，表示按照要求铺满n个格子需要多少洋灰三角，由于输出数据过大，你只需要输出答案模1000000007(1e9+7)后的结果即可。

输入

3 1 1

输出
复制

6

说明

洋灰三角铺法：1 2 3，总计6个

输入

3 2 2

输出

15

说明

洋灰三角铺法：1 4 10，总计15个

输入

3 3 3

输出
复制

28

说明

洋灰三角铺法：1 6 21，总计28个

备注:

对于100%的测试数据：
1 ≤ n ≤ 1000000000
1 ≤ k,p ≤ 1000

 

题意 ： 第一堆有 1 个物品，往后每堆的物品数是前一堆的数量的P倍 + K 个 ， 让你求前 N 堆得数量总和

思路分析 ： 第一天写题的时候还在那里一个劲的推公式，.... 凉了结果，赛后看代码，有用矩阵快速幂写的，自己一想，昂，多简单呀... 通项式子很容易就找到了，举着构造一下算一下就好了

代码示例 ：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod = 1e9+7;

ll n, m, p;
struct mat{
	ll a[3][3];
};

mat mul(mat a, mat b){
	mat r;
	memset(r.a, 0, sizeof(r.a));
	
	for(ll i = 0; i < 3; i++){
		for(ll j = 0; j < 3; j++){
			for(ll k = 0; k < 3; k++){
				r.a[i][j] += (a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
				r.a[i][j] %= mod;
			}
		}
	}
	return r;
}

mat qpow(mat a, ll x){
	mat b;
	memset(b.a, 0, sizeof(b.a));
	b.a[0][0] = b.a[1][1] = b.a[2][2] = 1;
	
	while(x){
		if (x&1) b = mul(b, a);
		a = mul(a, a);
		x >>= 1;
	}
	return b;
}

int main () {
	
	cin >> n >> m >> p;
	if (n == 1) {
		printf("1\n");
		return 0;
	}
	mat a;
	a.a[0][0] = 1, a.a[0][1] = m, a.a[0][2] = p;
	a.a[1][0] = 0, a.a[1][1] = m, a.a[1][2] = p;
	a.a[2][0] = 0, a.a[2][1] = 0, a.a[2][2] = 1;
	a = qpow(a, n-1);
	
	ll ans = a.a[0][0]+a.a[0][1]+a.a[0][2];
	printf("%lld\n", ans%mod);
	return 0;
}