欧拉函数

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在很早前就听过欧拉函数，不过一直没有去看，最近在补数论的时候，学一下它

 

根据约数定理，我们很容易求出来一个数约数的个数

欧拉函数的定义是这样的， 小于 n 且与 n 互素的正整数（包括1）的个数，对任意一个数 n , 我们有 n = p1^a1 * (p2^a2) * (p3^a3) ... *（pn^an）

Euler函数表达通式：E(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。E(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

 

欧拉函数的性质：

(1)   p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。

若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

(2)mn型欧拉函数

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性质:

若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

 

欧拉定理：

对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)

费马小定理：

当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)

 

欧拉函数模板

int euler_phi(int n){
    int ans = n;
    
    for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++){
        if (n % i == 0){
            ans = ans/i*(i-1);
            while(n%i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n>1) ans = ans/n*(n-1);
}

 当需要求多个数的phi值，可以利用想筛素数的方法去筛 phi

void phi_table(int n){
    memset(phi, 0, sizeof(phi));
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if (!phi[i]){
            for(int j = i; j <= n; j += i){
                if (!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}