组合数学 - 隔板法

这种问题的对象是对 同以种物品 n 个完全相同，去放在 m 个不同的盒子里，问有多少种方法？

在这个问题中，还有两种形式的问法：

1 、 盒子不可以为空

　　则答案就是 C(n-1, m-1)

2 、 盒子可以为空

　　因为隔板法的前提条件是盒子不可以为空，所以，为了满足这个条件，我们先在每个盒子中放如一个小球，则现在总球为 m+n ,中间有 m+n-1 个空隙，所以总的方案数是 C(m+n-1, m-1)

 

 

问题 2

有 n 个不同的元素，每个元素可以选多次，一共选 k 个元素，有多少种选法 ？ 例如 n = 3, k = 2 时有 6 种 ，(1, 1)(1, 2)(1, 3)(2, 2)(2, 3)(3, 3)

分析 ：

设第 i 个元素选取 xi 个，则 x1 + x2 + …… + xn = k 个 ， 问题就可以看成是将 k 放入 n 个不同的盒子中，盒子可以为空， 问最终有多少方案，典型的隔板法 ， C(n+k-1, n-1) = C(n+k-1, k)