除法取模的技巧

题目描述

在三维空间中，平面 x = 0, y = 0, z = 0，以及平面 x + y + z = K 围成了一个三棱锥。
整天与整数打交道的小明希望知道这个三棱锥内、上整点的数目。
他觉得数量可能很多，所以答案需要对给定的 M 取模。

输入描述:

输入有 1 ≤ T ≤ 10

⁵

组数据。
每组数据中，输入两个整数 0 ≤ K ≤ 10

⁹

+ 7, 1 ≤ M ≤ 10

⁹

+ 7，意义如题目描述。

输出描述:

对于每组数据，输出一个整数，为三棱锥内、上整点的数目对 M 取模。

输入

4
0 60
1 60
29 60
29 100007

输出

1
4
40
4960

题意 ： 询问在三棱锥内上的整点个数。
思路分析 ： 两种方法
在计算除法取模的时候，如果除数不是素数，则不能用快速幂取求逆元解决这个问题，因此这里要借助一个除法取模的性质， (a/b)%m = (a % (b*m))/b
 
1 、 将三棱锥截成一个平面一个平面的三角形，然后计算每个平面内整点的数量，最后一个边长的累加就可以计算出来，推得的公式是 

代码示例 ：

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
    int t;
    ll n, m;
    
    cin >> t;
    while(t--){
        cin >> n >> m;
        ll x = ((n+1)*(n)/2)%(3*m); 
        x = x*(n+5)%(3*m);
        printf("%lld\n", (x/3+(n+1)%m)%m);     
    }
    return 0;
}

方法二 ： 隔板法

　　由题意可知 x + y + z <= k , 那么我们可以加一个 d ，将其变成 x + y + z + d = k，其中 x , y , z , d 均可以为 0 ，那么这个问题不久变成了很经典的隔板法问题了吗，在 4 个桶里都先放入一个物品，所以答案是 C(n+k-1, n-1) , 即 C(n+k-1, 3)

代码示例 ：

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ll k,m;
        scanf("%lld%lld",&k,&m);
        ll res=(k+3)*(k+2)/2%(3*m);
        res=res*(k+1)%(3*m);
        printf("%lld\n",res/3);
    }
    return 0;
}