约数的个数 + 贪心

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来源：牛客网

题目描述

t次询问，每次给你一个数n，求在[1,n]内约数个数最多的数的约数个数

输入描述:

第一行一个正整数t
之后t行，每行一个正整数n

输出描述:

输出t行，每行一个整数，表示答案

示例1

输入

5
13
9
1
13
16

输出

6
4
1
6
6

备注:

对于100%的数据，t <= 500 , 1 <= n <= 1000000000000000000

题意 ：给你一个 n ,询问 从 1 到 n 约数个数最多的数的约数个数是几个。
思路 ：首先能想到的暴力肯定是不可解的， n 太大了
　　在数学上有一个叫约数定理的东东，任意一个数可以写成一些质因子幂次的乘积，x = p1^a1*p2^a2*p3^a3 ， 那么约数的个数就等于（a1+1）*(a2+1)*(a3+1)，
但是呢这个题不能去找每个数的质因数，会超时的，我们可以反着来，通过已知的质因子去寻找比 n 小的数，但是单纯这样还是会超时，我们来看一个12 = 2^2*3 , 18 = 2*3^2 ,
这两个数的约数个数是相同的，如果让选的话优先会挑选小的那个数，观察一下小的数会发现因子小的次幂是偏大的，那么就可以贪心的选取了，下一个数的次幂一定是小于等于当前数的次幂的。
代码示例：

#define ll long long
const ll maxn = 1e6+5;
const double pi = acos(-1.0);
const ll inf = 0x3f3f3f3f;

ll n;
ll a[35] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97};
ll ans;
void dfs(ll x, ll sum, ll k, ll ci){
    ans = max(ans, sum);
    if (k > 19 || ci == 0) return;
    ll cnt = 0;
    while(x <= n/a[k]){  // !!! 一定要写成除的形式，乘的话会爆掉long long
        x *= a[k];
        cnt++;
        if (cnt > ci) break;
        dfs(x, sum*(cnt+1), k+1, cnt);
    }
}

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
    ll t;
    //init();
    
    cin >>t;
    while(t--){
        cin >> n;
        ans = 1;
        dfs(1, 1, 0, 35);
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

 

在数据偏大的时候一定要想着可能会超 long long ，那么这时候有些关系能用除解决，就尽量不要用乘的！！